Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 372 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Dom(Ca(A)) = H , Im(Ca(A)) = H,
Ker(Ca(A)) = 0 , Ca(A)
−1
= Ca(A)
∗
A
Im(A ± iid) = H.
Gr(Ca(A)
−1
) := {(A − iid)h ⊕ (A + iid)h | h ∈ Dom(A)}
Ca(A)
Ca(A)
∀(φ ∈ H) : kCa(A)φk = kφk.
Ca(A)
A
Ca(A)
z = exp(iθ) , 0 < θ
1
≤ θ ≤ θ
2
< 2π
z = 1 Ca(A)
(Ca(A) − id)
−1
A = −i(Ca(A) + id)(Ca(A) − id)
−1
.
∀(φ ∈ H , f ∈ Bor(R
1
)) : < φ , f(A)φ >=
Z
2π
0
f
−i
exp(iθ) + 1
exp(iθ) −1
d
θ
< φ , E
un
(θ , Ca(A))φ >=
Z
2π
0
f(−ctg(θ/2))d
θ
< φ , E
un
(θ , Ca(A))φ > .
Ëåììà 4.9.3. Ïðåîáðàçîâàíèå Êåëëè ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà óäî-
âëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

                 Dom(Ca(A)) = H , Im(Ca(A)) = H,
                 Ker(Ca(A)) = 0 , Ca(A)−1 = Ca(A)∗                 (4.232)

è óíèòàðíî.

  Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí, òî â ñèëó òåîðå-
ìû 4.7.3
                         Im(A ± iid) = H.
Îòñþäà ñëåäóþò ïåðâûå äâà óòâåðæäåíèÿ ëåììû. Âòîðîå óòâåðæäåíèå
ëåììû ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà (4.189). Èç ýòîãî æå ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
ìíîæåñòâî

        Gr(Ca(A)−1 ) := {(A − iid)h ⊕ (A + iid)h | h ∈ Dom(A)}

åñòü ãðàôèê îïåðàòîðà. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ãðàôèê îïåðàòîðà, îáðàòíîãî
ê Ca(A).
   Èç ðàâåíñòâà (4.189) è ëåììû 4.231 ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð Ca(A) èçî-
ìåòðè÷åí:
                      ∀(φ ∈ H) : kCa(A)φk = kφk.
Òàê êàê îïåðàòîð Ca(A) èçîìåòðè÷åí è îáðàòèì, òî îí óíèòàðåí. Ëåììà
äîêàçàíà.
   Ïóñòü A -îãðàíè÷åííûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Òîãäà ñïåêòð åãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Êåëëè Ca(A) ëåæèò íà äóãå

                   z = exp(iθ) , 0 < θ1 ≤ θ ≤ θ2 < 2π

è òî÷êà z = 1 íå ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó îïåðàòîðà Ca(A). Ñëåäîâàòåëüíî,
îïåðàòîð (Ca(A) − id)−1 ñóùåñòâóåò è

                  A = −i(Ca(A) + id)(Ca(A) − id)−1 .               (4.233)

Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 4.6.2 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

          ∀(φ ∈ H , f ∈ Bor(R1 )) : < φ , f (A)φ >=
          Z 2π                   
                      exp(iθ) + 1
               f −i                 dθ < φ , Eun (θ , Ca(A))φ >=
           0          exp(iθ) − 1
          Z 2π
               f (− ctg(θ/2))dθ < φ , Eun (θ , Ca(A))φ > .         (4.234)
           0


                                   360

Страницы