Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 365 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
−
× H
+
[ , ]
0
: H
−
× H
+
7→ C
1
, ∀(f × g ∈ H × H
−
) : [f , g]
0
=< f , g >
H
−
H
+
H
+
H
+
3 g 7→ [f , g]
0
, f ∈ H
−
,
H
−
H
−
3 f 7→ [f , g]
∗
0
, g ∈ H
+
.
H
−
×H
+
d(f × g , f
0
× g
0
) = kf − f
0
k
−
+ kg − g
0
k
+
.
∀(f × g ∈ H × H
+
) : | < f , g > | = |[Jf , g]| ≤ kJfk
+
kgk
+
=
kfk
−
kgk
+
.
H
−
×H
+
f
n
× g
n
∈ H × H
+
H
−
× H
+
f
n
× g
n
→ f
0
× g
0
∈ H
−
× H
+
, n → ∞,
< f
n
, g
n
>
H
+
3 g 7→ [f , g]
0
, f ∈ H
−
, H
−
3 f 7→ [f , g]
∗
0
, g ∈ H
+
H
+
l
g
0
∈ H
+
∀(g ∈ H
+
) : l(g) = [g
0
, g]
+
.
Òåîðåìà 4.8.2. Áèëèíåéíàÿ ôîðìà (4.210) ïðîäîëæàåòñÿ ïî íåïðåðûâ-
íîñòè íà äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ             H− × H+   è åå ïðîäîë-
æåíèå:
                                                          def
  [ , ]0 : H− × H+ 7→ C1 , ∀(f × g ∈ H × H− ) : [f , g]0 =< f , g > (4.211)

ïðèâîäèò ïðîñòðàíñòâà     H−   è   H+   â äâîéñòâåííîñòü: ëþáîé ëèíåéíûé
íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå         H+   ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåí â âèäå:
                       H+ 3 g 7→ [f , g]0 , f ∈ H− ,                   (4.212)
è ëþáîé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå               H−   ìî-
æåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå:

                       H− 3 f 7→ [f , g]∗0 , g ∈ H+ .                  (4.213)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ
H− × H+ ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ìåò-
ðèêîé
              d(f × g , f 0 × g 0 ) = kf − f 0 k− + kg − g 0 k+ .
Èìååì:

      ∀(f × g ∈ H × H+ ) : | < f , g > | = |[Jf , g]| ≤ kJf k+ kgk+ =
      kf k− kgk+ .                                                   (4.214)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî áèëèíåéíàÿ ôîðìà (4.210) ïðîäîëæàåòñÿ ïî íåïðå-
ðûâíîñòè íà äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ H− × H+ , òàê êàê åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn × gn ∈ H × H+ ôóíäàìåíòàëüíà â ìåòðèêå ïðî-
ñòðàíñòâà H− × H+ è

                 fn × gn → f0 × g0 ∈ H− × H+ , n → ∞,

òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü < fn , gn > ôóíäàìåíòàëüíà è îòîáðàæåíèÿ

         H+ 3 g 7→ [f , g]0 , f ∈ H− , H− 3 f 7→ [f , g]∗0 , g ∈ H+

çàäàþò ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèîíàëû íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðî-
ñòðàíñòâàõ. Äîêàæåì, ÷òî ëþáîé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà
ïðîñòðàíñòâå H+ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå (4.212). Ïóñòü l -òàêîé
ôóíêöèîíàë. Ïî òåîðåìå Ðèññà îá îáùåì âèäå ëèíåéíîãî íåïðåðûâíî-
ãî ôóíêöèîíàëà íà ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð
g0 ∈ H+ , ÷òî
                     ∀(g ∈ H+ ) : l(g) = [g0 , g]+ .

                                    353

Страницы