Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 361 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
+
Jg
∀(g ∈ H , f ∈ H
+
) : [Jg , f ]
+
=< g , f > .
J : H 7→ H
+
⊂ H.
Z
Jg
∗
(x)f(x)(1 + x
2
)dx =
Z
g
∗
(x)f(x)dx,
Jg(x) = (1 + x
2
)
−1
g(x).
J
kJ | L(H → H
+
)k ≤ 1.
kJ | L(H → H)k ≤ 1.
∀(g ∈ H) : kJg | k
+
= sup{|[Jg , f]
+
| | kfk
+
≤ 1} =
sup{| < g , f > | | kfk
+
≤ 1} ≤ sup{| < g , f > | | kf k ≤ 1} = kgk.
J
Ker(J) = 0.
Cl(Im(J)) = H
+
.
H
+
f ∈ Ker(J)
∀(g ∈ H
+
) : [Jf , g]
+
=< f , g >= 0.
H
+
H f = 0
g ∈ H
+
, g⊥Im(J)
(∀(f ∈ H) : [Jf , g]
+
=< f , g >= 0) ⇒ (g = 0).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ðèññà îá îáùåì âèäå ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî
ôóíêöèîíàëà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå â ïðîñòðàíñòâå H+ ñóùåñòâó-
åò òàêîé âåêòîð Jg , ÷òî
                                               def
                ∀(g ∈ H , f ∈ H+ ) : [Jg , f ]+ =< g , f > .          (4.201)
Ôîðìóëà (4.201) îïðåäåëÿåò ëèíåéíûé îïåðàòîð
                            J : H 7→ H+ ⊂ H.
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî íàìè ïðèìåðà ðàâåíñòâî (4.201) ïðèíèìàåò âèä:
              Z                        Z
                Jg (x)f (x)(1 + x )dx = g ∗ (x)f (x)dx,
                  ∗              2


ïîýòîìó â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ïðèìåðå
                          Jg(x) = (1 + x2 )−1 g(x).
Èçó÷èì ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî ôîðìóëîé (4.201) îïåðàòîðà J .
Ëåììà 4.8.1. Ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
                          kJ | L(H → H+ )k ≤ 1.                       (4.202)
                          kJ | L(H → H)k ≤ 1.                         (4.203)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
    ∀(g ∈ H) : kJg | k+ = sup{|[Jg , f ]+ | | kf k+ ≤ 1} =
    sup{| < g , f > | | kf k+ ≤ 1} ≤ sup{| < g , f > | | kf k ≤ 1} = kgk.
Ïåðâîå íåðàâåíñòâî äîêàçàíî. Âòîðîå åñòü î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå ïåðâîãî.
Ëåììà 4.8.2. Îïåðàòîð J óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì:
                             Ker(J) = 0.                              (4.204)
                             Cl(Im(J)) = H+ .                         (4.205)
Çàìûêàíèå â   (4.205) áåðåòñÿ â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H+ .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f ∈ Ker(J), òî
                   ∀(g ∈ H+ ) : [Jf , g]+ =< f , g >= 0.
Òàê êàê H+ ïëîòíî â H , òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f = 0.
   Åñëè g ∈ H+ , g⊥Im(J), òî
              (∀(f ∈ H) : [Jf , g]+ =< f , g >= 0) ⇒ (g = 0).
Ëåììà äîêàçàíà. Èç ëåììû 4.8.2 âûòåêàåò

                                    349

Страницы