Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 359 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

k|Df|k ≤
−1
kfk + k∆fk.
∀( > 0) : kBfk ≤ (|q
∞
+
−1
|l|)kfk + |l|k∆fk.
B −∆
H
2
(R
d
) 3 f 7→ −∆f + l · Df(x) + q(x)f(x)
L
2
(R
d
, dx)
t 7→ T (t)
C
0
t >
0 T (t)
T (t)
t 7→ U(t)
C
0
t ∈ R
1
U(t)
A U(t) −iA
T (t)
T (t)
Re λ 1
ïîýòîìó
                            k|Df |k ≤ −1 kf k + k∆f k.
Ñëåäîâàòåëüíî,

                ∀( > 0) : kBf k ≤ (|q∞ + −1 |l|)kf k + |l|k∆f k.

Ìû äîêàçàëè, ÷òî îïåðàòîð B îãðàíè÷åí îïåðàòîðîì −∆ ñî ñêîëü óãîäíî
ìàëîé âåðõíåé ãðàíüþ.
   Èç òåîðåìû Êàòî-Ðåëëèõà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ñôîðìóëèðîâàííûõ íàìè
óñëîâèÿõ îïåðàòîð Øðåäèíãåðà

                  H 2 (Rd ) 3 f 7→ −∆f + l · Df (x) + q(x)f (x)

ñàìîñîïðÿæåí â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd , dx)
   Èç òåîðåìû 4.7.3 è òåîðåìû Õèëëå-Ôèëëèïñà-Èîñèäû (ñì. 249) âûòå-
êàåò òåîðåìà Ñòîóíà .

Òåîðåìà 4.7.5. 1. Åñëè
                                     t 7→ T (t)
-ïîëóãðóïïà êëàññà     C0     â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå è ïðè âñåõ           t >
0   îïåðàòîðû   T (t) ñàìîñîïðÿæåíû,       òî èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð
ïîëóãðóïïû    T (t) ñàìîñîïðÿæåí.
    2. Åñëè
                                     t 7→ U (t)
-ïîëóãðóïïà êëàññà     C0 ,   ïðè âñåõ   t ∈ R1   îïåðàòîðû     U (t)   óíèòàðíû è
A   -èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû             U (t),   òî îïåðàòîð   −iA
-ñàìîñîïðÿæåí.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè îïåðàòîðû T (t) ñàìîñîïðÿæåíû, òî èíôèíè-
òåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû T (t) ñèììåòðè÷åí.  ñèëó òåîðåìû
Õèëëå-Ôèëëèïñà-Èîñèäû îí çàìêíóò, èìååò ïëîòíóþ îáëàñòü îïðåäåëå-
íèÿ è åãî ðåçîëüâåíòà îïðåäåëåíà ïðè Re λ  1. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå
3 òåîðåìû 4.7.3 âûïîëíåíî. Åñëè ïîëóãðóïïà ñîñòîèò èç óíèòàðíûõ îïå-
ðàòîðîâ, òî åå èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð î÷åâèäíî êîñîñèììåòè÷åí.
Îñòàëüíûå ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû è èõ ïðîâåäåíèå ïðåäîñòàâëÿåòñÿ
÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ (ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ñïåêòðàëü-
íîé òåîðåìîé äëÿ óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ).
   Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                         347

Страницы