Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 357 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(y ∈ H) :
x = −R(−iα , A)(id − BR(−iα , A))
−1
y ∈ Dom(A).
A + B
H = L
2
(R
d
, dx) L
2
(R
d
, dx)
Dom(A) = {f | f ∈ L
2
(R
d
, dx) ,
Z
|x|
4
|f(x)|
2
dx < ∞}
Af(x) = x
2
f(x).
A
∗
g ∈ H
Dom(A) 3 f 7→< g , Af >=
Z
g
∗
(x)|x|
2
f(x)dx
H
sup{| < g , Af > | | kf k ≤ 1} = sup{|
Z
g
∗
(x)|x|
2
f(x)dx| | kfk ≤ 1} =
Z
|x|
4
|g(x)|
2
dx
1/2
< ∞.
A
∗
A A
H = L
2
(R
d
, dx) S(R
d
)
A : S(R
d
) 3 f(x) 7→ Af(x) = −∆f(x),
∆ A {f
n
} ∈
S(R
d
) L
2
(R
d
, dx)
f
n
→ f
0
∈ H , Af
n
→ g ∈ H , n → ∞.
Òåïåðü èç (4.195) ñëåäóåò, ÷òî â ðàâåíñòâå (4.194):

             ∀(y ∈ H) :
             x = −R(−iα , A)(id − BR(−iα , A))−1 y ∈ Dom(A).

 ñèëó ïðåäûäóùåé òåîðåìû îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A + B ñàìî-
ñîïðÿæåí. Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.
Ïðèìåð   4.7.1. Ïóñòü H = L2 (Rd , dx). Íà ïëîòíîé â L2 (Rd , dx) îáëàñòè
                                           Z
                               2   d
          Dom(A) = {f | f ∈ L (R , dx) ,     |x|4 |f (x)|2 dx < ∞}

ðàññìîòðèì îïåðàòîð
                                 Af (x) = x2 f (x).
Ýòîò îïåðàòîð ñèììåòðè÷åí íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Îáëàñòü îïðå-
äåëåíèÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A∗ ñîñòîèò èç òåõ ýëåìåíòîâ g ∈ H , äëÿ
êîòîðûõ ôóíêöèîíàë
                                       Z
            Dom(A) 3 f 7→< g , Af >= g ∗ (x)|x|2 f (x)dx

ïðîäîëæàåòñÿ äî ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà íà âñåì ïðî-
ñòðàíñòâå H . Ýòî ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,
åñëè îí îãðàíè÷åí, ò. å. åñëè
                                         Z
   sup{| < g , Af > | | kf k ≤ 1} = sup{| g ∗ (x)|x|2 f (x)dx| | kf k ≤ 1} =
  Z                   1/2
         4       2
       |x| |g(x)| dx          < ∞.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A∗
ñîâïàäàåò ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà A è ïîýòîìó îïåðàòîð A
ñàìîñîïðÿæåí.
Ïðèìåð  4.7.2. Ïóñòü H = L2 (Rd , dx). Íà ïðîñòðàíñòâå Øâàðöà S(Rd )
ðàññìîòðèì îïåðàòîð

                     A : S(Rd ) 3 f (x) 7→ Af (x) = −∆f (x),

ãäå ∆ -îïåðàòîð Ëàïëàñà. Íàéäåì çàìûêàíèå îïåðàòîðà A. Ïóñòü {fn } ∈
S(Rd ) è â ìåòðèêå L2 (Rd , dx)

                     fn → f0 ∈ H , Afn → g ∈ H , n → ∞.

                                        345

Страницы