Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 355 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

mathbfKer(A±iid) = 0
(A ± iid)
−1
Dom(A ± iid)
−1
= H.
∀(x ∈ H) , ∃(y
±
∈ Dom(A)) : (A ± iid)y
±
= x.
λ = a + ib , b 6= 0.
(λid −A) = b(iid −(−aid + A)/b)
A (−aid +
A)/b
A B
Dom(B) ⊃ Dom(A)
B A
A
∃(a , b) , ∀(x ∈ Dom(A)) : kBxk ≤ akxk + bkAxk.
b A
B B
A A
a +∞
b
A B
Dom(B) ⊃ Dom(A) B A A
b < 1 A + B Dom(A)
∀ : 2ab ≤ (a/)
2
+ (b)
2
,
Çàìå÷àíèå 4.7.1. Òàê êàê mathbf Ker(A±iid) = 0, òî óñëîâèå 3 ýâèâàëåíò-
íî ñóùåñòâîâàíèþ îïåðàòîðîâ (A ± iid)−1 , îáëàñòü îïðäåëåíèÿ êîòîðûõ
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: Dom(A ± iid)−1 = H.. Äëÿ ïðîâåðêè óñëîâèÿ 3
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî

             ∀(x ∈ H) , ∃(y± ∈ Dom(A)) : (A ± iid)y± = x.

   Ïóñòü
                           λ = a + ib , b 6= 0.
Òîãäà
                    (λid − A) = b(iid − (−aid + A)/b)
Îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îïåðàòîð (−aid +
A)/b ñàìîñîïðÿæåí. Ïîýòîìó èç òåîðåìû 4.7.3 âûòåêàåò

Ñëåäñòâèå 4.7.2. Ñïåêòð ëþáîãî ñîìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ëåæèò
íà äåéñòâèòåëüíîé îñè.

  Ïóñòü A -ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, B ñèììåòðè÷íûé îïåðàòîð è
Dom(B) ⊃ Dom(A).

Îïðåäåëåíèå 4.7.6. Îïåðàòîð B íàçûâàåòñÿ A-îãðàíè÷åííûì (èëè îãðà-
íè÷åííûì îïåðàòîðîì A), åñëè

         ∃(a , b) , ∀(x ∈ Dom(A)) : kBxk ≤ akxk + bkAxk.        (4.192)

   Âõîäÿùàÿ â (4.192) êîíñòàíòà b íàçûâàåòñÿ âåðõíåé A-ãðàíüþ îïå-
ðàòîðà B (èëè âåðõíåé ãðàíüþ îïåðàòîðà B ïî îòíîøåíèþ îïåðàòîðà
A). Îòìåòèì, ÷òî òî÷íîé íèæíåé ãðàíè âñåõ âåðõíèõ A-ãðàíåé ìîæåò è
íå ñóùåñòâîâàòü (÷èñëî a â îöåíêå (4.192) ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê +∞ ïðè
óìåíüøåíèè b).
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Êàòî-Ðåëëèõà (èëè Ðåëëèõà-
Êàòî)

Òåîðåìà 4.7.4. Åñëè îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí, îïåðàòîð B ñèììåò-
ðè÷åí,  Dom(B) ⊃ Dom(A) è îïåðàòîð B A-îãðàíè÷åíí ñ A-ãðàíüþ
b < 1, òî îïåðàòîð A + B ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ Dom(A) ñàìîñîïðÿ-
æåí.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê

                        ∀ : 2ab ≤ (a/)2 + (b)2 ,

                                   343

Страницы