Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 352 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ker(A) = 0
A
−1
A
−1
x , y Dom(A
−1
) = H
w , z x = Aw , y = Az
< x , A
−1
y >=< Aw , z >=< w , Az >=< A
−1
x , y > .
A
−1
A
−1
A
−1
A
∗
= ((A
−1
)
−1
)
∗
= ((A
−1
)
∗
)
−1
= ((A
−1
)
−1
= A.
A
Ker(A ± iid) = 0.
A
∀(x ∈ Dom(A)) : k(A ± iid)xk
2
= kAxk
2
+ kxk
2
,
Ker(A
∗
± iid) = 0
Cl(Im(A ∓ iid)) = H
+
y ⊥ Cl(Im(A − iid)).
∀(x ∈ Dom(A)) : < y , (A − iid)x >= 0.
y ∈ Dom(A
∗
+ iid) , (A
∗
+ iid)y = 0 , y ∈ Ker(A
∗
+ iid).
Ker(A
∗
+ iid) = 0
Cl(Im(A − iid)) = H.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 4.7.9 ñëåäóåò, ÷òî Ker(A) = 0, ïîýòî-
ìó îïåðàòîð A−1 ñóùåñòâóåò. Äîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð A−1 ñèììåòðè÷åí.
Ïóñòü x , y -ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç Dom(A−1 ) = H . Òîãäà ñóùåñòâó-
þò òàêèå ýëåìåíòû w , z , ÷òî x = Aw , y = Az . Ïîýòîìó

         < x , A−1 y >=< Aw , z >=< w , Az >=< A−1 x , y > .

Òàê êàê îïåðàòîð A−1 ñèììåòðè÷åí è îáëàñòü åãî îïðåäåëåíèÿ åñòü âñå
ïðîñòðàíñòâî, òî îïåðàòîð A−1 ñàìîñîïðÿæåí è ïîýòîìó çàìêíóò. Ïî òåî-
ðåìå î çàìêíóòîì ãðàôèêå (ñì. 169) îïåðàòîð A−1 îãðàíè÷åí. Äàëåå èìå-
åì:
             A∗ = ((A−1 )−1 )∗ = ((A−1 )∗ )−1 = ((A−1 )−1 = A.
Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 4.7.11. Åñëè îïåðàòîð A ñèììåòðè÷åí, òî
                              Ker(A ± iid) = 0.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè îïåðàòîð A ñèììåòðè÷åí, òî ñïðàâåäëèâî ðà-
âåíñòâî

         ∀(x ∈ Dom(A)) : k(A ± iid)xk2 = kAxk2 + kxk2 ,             (4.189)

îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.

Ëåììà 4.7.12. Ker(A     ∗
                            ± iid) = 0   â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè
Cl(Im(A ∓ iid)) = H .

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ çíàêà +. Ïóñòü

                            y ⊥ Cl(Im(A − iid)).

Òîãäà
                 ∀(x ∈ Dom(A)) : < y , (A − iid)x >= 0.
Ñëåäîâàòåëüíî,

         y ∈ Dom(A∗ + iid) , (A∗ + iid)y = 0 , y ∈ Ker(A∗ + iid).

Ïîýòîìó èç óñëîâèÿ
                              Ker(A∗ + iid) = 0
ñëåäóåò ðàâåíñòâî
                            Cl(Im(A − iid)) = H.

                                    340

Страницы