Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 350 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
−1
(A
−1
)
∗
Gr(A
−1
) = {Ax ⊕ x | x ∈ Dom(A)},
V (Gr(A
−1
)) = {(−x) ⊕ Ax | x ∈ Dom(A)},
V (Gr(A
−1
))
⊥
=
{y ⊕z | − < y , x > + < z , Ax >= 0 , x ∈ Dom(A)},
V (Gr(A
−1
))
⊥
= {A
∗
z ⊕ z | z ∈ Dom(A
∗
)}.
Gr((A
∗
)
−1
) = Gr((A
−1
)
∗
)).
A = A
∗
, Ker(A) = 0,
Cl(Im(A)) = H.
y ⊥ Cl(Im(A)).
∀(x ∈ Dom(A)) : < y , Ax >= 0.
y ∈ Dom(A
∗
) , A
∗
y = Ay = 0 , y ∈ Ker(A).
y = 0.
A
A = A
∗
A
−1
A
−1
(A
−1
)
∗
= A
−1
.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A−1
ñóùåñòâóåò, èç âòîðîãî óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð (A−1 )∗ ñó-
ùåñòâóåò. Äàëåå èìååì:

           Gr(A−1 ) = {Ax ⊕ x | x ∈ Dom(A)},
           V (Gr(A−1 )) = {(−x) ⊕ Ax | x ∈ Dom(A)},
           V (Gr(A−1 ))⊥ =
           {y ⊕ z | − < y , x > + < z , Ax >= 0 , x ∈ Dom(A)},
           V (Gr(A−1 ))⊥ = {A∗ z ⊕ z | z ∈ Dom(A∗ )}.

Ñðàâíèâàÿ ïîñåäíåå ðàâåíñòâî ñ (4.182) ìû ïîëó÷àåì:

                        Gr((A∗ )−1 ) = Gr((A−1 )∗ )).

Ëåììà äîêàçàíà.
Ëåììà 4.7.7. Åñëè
                          A = A∗ , Ker(A) = 0,
òî
                             Cl(Im(A)) = H.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                              y ⊥ Cl(Im(A)).

Òîãäà
                     ∀(x ∈ Dom(A)) : < y , Ax >= 0.
Ñëåäîâàòåëüíî,

                y ∈ Dom(A∗ ) , A∗ y = Ay = 0 , y ∈ Ker(A).

Èç âòîðîãî óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî

                                   y = 0.

Ëåììà äîêàçàíà.
Ëåììà 4.7.8. Åñëè îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí:
                                  A = A∗

è îïåðàòîð   A−1   ñóùåñòâóåò, òî îïåðàòîð       A−1   ñàìîñîïðÿæåí:

                               (A−1 )∗ = A−1 .

                                    338

Страницы