Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 347 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Gr(Cl(A))
∗
) = (V (Gr(Cl(A))))
⊥
=
(V (Cl(Gr(A))))
⊥
= (Cl(V ((Gr(A))))
⊥
=
(V (Gr(A)))
⊥
= Gr(A
∗
).
B A
A B
Gr(A) ⊂ Gr(B),
Dom(A) ⊂ Dom(B) , ∀(x ∈ Dom(A)) : Ax = Bx.
A ⊂ B.
Cl(Dom(A
∗
)) = H,
A ⊂ (A
∗
)
∗
.
(A
∗
)
∗
∀(x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A
∗
)) : < x , A
∗
y >=< A
∗
y , x >
∗
=< y , Ax >
∗
=< Ax , y >=< (A
∗
)
∗
x , y > .
∀(x ∈ Dom(A)) : Ax = (A
∗
)
∗
x.
A
A ⊂ A
∗
,
∀(x , y ∈ Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y > .
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

                  Gr(Cl(A))∗ ) = (V (Gr(Cl(A))))⊥ =
                  (V (Cl(Gr(A))))⊥ = (Cl(V ((Gr(A))))⊥ =
                  (V (Gr(A)))⊥ = Gr(A∗ ).

Ëåììà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 4.7.2. Îïåðàòîð B åñòü ðàñøèðåíèå îïåðàòîðà A (èëè
îïåðàòîð A åñòü ÷àñòü îïåðàòîðà B ), åñëè

                             Gr(A) ⊂ Gr(B),                         (4.186)

÷òî îçíà÷àåò:

            Dom(A) ⊂ Dom(B) , ∀(x ∈ Dom(A)) : Ax = Bx.

Ñîîòíîøåíèå (4.186) çàïèñûâàåòñÿ òàê:

                                  A ⊂ B.

Ëåììà 4.7.2. Åñëè
                            Cl(Dom(A∗ )) = H,
òî
                                A ⊂ (A∗ )∗ .
  Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó óñëîâèÿ ëåììû îïåðàòîð (A∗ )∗ ñóùåñòâóåò.
Èìååì:

        ∀(x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A∗ )) : < x , A∗ y >=< A∗ y , x >∗
         =< y , Ax >∗ =< Ax , y >=< (A∗ )∗ x , y > .

Ñëåäîâàòåëüíî,
                      ∀(x ∈ Dom(A)) : Ax = (A∗ )∗ x.
Ëåììà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 4.7.3. Îïåðàòîð A ñèììåòðè÷åí, åñëè
                                 A ⊂ A∗ ,                           (4.187)

÷òî îçíà÷àåò:

                ∀(x , y ∈ Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y > .

                                    335

Страницы