Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 339 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
f(exp(iθ)) ∈ A : f(exp(iθ)) =
X
0≤k≤m
(α
k
exp(ikθ) + β
k
exp(−ikθ)) , α
k
, β
k
∈ C
1
.
A C([0 , 2π])
A
(f ∈ A) ⇒ (f
∗
∈ A).
A {P
m
}
P
m
(exp(iθ)) = a
0
/2 +
X
1≤k≤m
(a
k
cos(kθ) + b
k
sin(kθ)) , a
k
, b
k
∈ R
1
.
∀(θ ∈ [0 , 2π]) : P
m
(exp(iθ)) ≥ 0,
P
m
(exp(iθ)) = Q(exp(iθ))
∗
· Q(exp(iθ)) , Q ∈ A.
F (z) , z ∈ C
1
F (z) = P
m
(exp(iθ)) , z = exp(iθ) , 0 ≤ θ ≤ 2π.
F (z)
∀(0 < |z| < ∞) : F (z) = z
−m
p
2m
(z),
p
2m
(z) 2m
e
F (z) = F ((1/z)
∗
)
∗
0 < |z| < ∞
∀(θ ∈ [0 , 2π)) : F (exp(iθ) =
e
F (exp(iθ)).
Ïóñòü A -ìíîæåñòâî ôóíêöèé âèäà

            f (exp(iθ)) ∈ A : f (exp(iθ)) =
              X
                  (αk exp(ikθ) + βk exp(−ikθ)) , αk , βk ∈ C1 .
            0≤k≤m


Ìíîæåñòâî ôóíêöèé A åñòü ïîäàëãåáðà àëãåáðû C([0 , 2π]) îòíîñèòåëüíî
îïåðàöèé ïîòî÷å÷íîãî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ôóíêöèé. Çàìåòèì, ÷òî
àëãåáðà A çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîìïëåêñíîãî ñîðïðÿæåíèÿ:

                            (f ∈ A) ⇒ (f ∗ ∈ A).

Àëãåáðà A ñîäåðæèò ïîäàëãåáðó {Pm } òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ:
                           X
    Pm (exp(iθ)) = a0 /2 +   (ak cos(kθ) + bk sin(kθ)) , ak , bk ∈ R1 .
                           1≤k≤m

Ñëåäóþùàÿ ëåììà íàçûâàåòñÿ ëåììîé Ôåéåðà.

Ëåììà 4.6.2. Åñëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì íåîòðèöàòåëåí:
                     ∀(θ ∈ [0 , 2π]) : Pm (exp(iθ)) ≥ 0,          (4.156)

òî îí ïðåäñòàâèì â âèäå

         Pm (exp(iθ)) = Q(exp(iθ))∗ · Q(exp(iθ)) , Q ∈ A.         (4.157)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿ F (z) , z ∈ C1 îïðåäåëåíà èç óñëîâèÿ:

             F (z) = Pm (exp(iθ)) , z = exp(iθ) , 0 ≤ θ ≤ 2π.

Ôóíêöèÿ F (z) ïåðäñòàâèìà â âèäå

                    ∀(0 < |z| < ∞) : F (z) = z −m p2m (z),

ãäå p2m (z) -àëãåáðàè÷åñêèé ïîëèíîì ñòåïåíè 2m. Ôóíêöèÿ

                             Fe(z) = F ((1/z)∗ )∗

àíàëèòè÷íà â îáëàñòè 0 < |z| < ∞.
   Òàê êàê òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà-
÷åíèÿ íà åäèíè÷íîì êðóãå, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

                ∀(θ ∈ [0 , 2π)) : F (exp(iθ) = Fe(exp(iθ)).       (4.158)

                                     327

Страницы