Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 336 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R(λ , B) = R(λ , A)Q(λ , A , B).
λ 6∈ [0 , 1]
B [0 , 1] σ(B) ⊂ [0 , 1]
φ ∈ C
∞
0
([0 , 1]) Q(λ±i0 , A , B , φ) , λ ∈
(0 , 1)
< φ , (R(σ −i , B) − R(σ + i , B))φ >=
2i < φ , R(σ − i , B)R(σ + i , B)φ >=
2i < R(σ + i , B)φ , R(σ + i , B)φ >=
2i < R(σ + i , A)Q(σ + i , A , B)φ , R(σ + i , A)Q(σ + i , A , B)φ > .
∀(φ ∈ C
∞
0
([0 , 1]) , λ ∈ (0 , 1)) : < φ , E(λ , B)φ >=
lim
→+0
1
2πi
Z
λ
−∞
< φ , (R(σ − i , B) − R(σ + i , B))φ > dσ =
lim
→+0
π
Z
λ
−∞
< R(σ + i , A)Q(σ + i , A , B)φ,
R(σ + i , A)Q(σ + i , A , B)φ > dσ =
lim
→+0
π
Z
λ
−∞
Z
1
0
((x −σ)
2
+
2
)
−1
|Q(σ + i , A , B)φ(x)|
2
dx
dσ =
Z
λ
0
|Z
+
(φ)(σ)|
2
dσ,
Z
±
(φ)(σ) = Q(σ ± i0 , A , B)φ(σ).
∀(φ , ψ ∈ C
∞
0
([0 , 1])) : < φ , E(λ , B)ψ >=
Z
λ
0
Z
+
(φ)(σ)
∗
Z
+
(ψ)(σ)dσ,
∀(φ ∈ C
∞
0
([0 , 1])) : Z
+
(φ)(λ) =
φ(λ) + µ(1 −µg(λ + i0))
−1
Z
1
0
(λ + i0 −x)
−1
α(x)φ(x)dx
α(λ).
Èç ðàâåíñòâà (3.113) (ñì. 191 ) ñëåäóåò, ÷òî

                      R(λ , B) = R(λ , A)Q(λ , A , B).                (4.146)

Òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (4.146) àíàëèòè÷íà ïðè λ 6∈ [0 , 1], òî
ñïåêòð îïåðàòîðà B ëåæèò íà îòðåçêå [0 , 1] : σ(B) ⊂ [0 , 1]. Çàìåòèì,
÷òî åñëè φ ∈ C0∞ ([0 , 1]), òî ñóùåñòâóþò ïðåäåëû Q(λ ± i0 , A , B , φ) , λ ∈
(0 , 1).
    Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

  < φ , (R(σ − i , B) − R(σ + i , B))φ >=
 2i < φ , R(σ − i , B)R(σ + i , B)φ >=
 2i < R(σ + i , B)φ , R(σ + i , B)φ >=
 2i < R(σ + i , A)Q(σ + i , A , B)φ , R(σ + i , A)Q(σ + i , A , B)φ > .
Ïîýòîìó

      ∀(φ ∈ C0∞ ([0 , 1]) , λ ∈ (0 , 1)) : < φ , E(λ , B)φ >=
                Z λ
             1
       lim            < φ , (R(σ − i , B) − R(σ + i , B))φ > dσ =
      →+0 2πi −∞

             λ
              Z
       lim         < R(σ + i , A)Q(σ + i , A , B)φ,
      →+0 π −∞

      R(σ + i , A)Q(σ + i , A , B)φ > dσ =
             λ
              Z Z 1                                               
                                  2     2 −1                    2
       lim               ((x − σ) +  ) |Q(σ + i , A , B)φ(x)| dx dσ =
      →+0 π −∞        0
      Z λ
          |Z+ (φ)(σ)|2 dσ,                                           (4.147)
        0
ãäå
                     Z± (φ)(σ) = Q(σ ± i0 , A , B)φ(σ).               (4.148)
Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ìîäåëè ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ
çàäàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé
                                               Z λ
             ∞
  ∀(φ , ψ ∈ C0 ([0 , 1])) : < φ , E(λ , B)ψ >=     Z+ (φ)(σ)∗ Z+ (ψ)(σ)dσ,
                                                 0
                                                                      (4.149)
      Âû÷èñëÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü (4.148), ìû ïîëó÷àåì:

 ∀(φ ∈ C0∞ ([0 , 1])) : Z+ (φ)(λ) =
                                Z 1                        
 φ(λ) + µ(1 − µg(λ + i0))    −1
                                     (λ + i0 − x) α(x)φ(x)dx α(λ). (4.150)
                                                 −1
                                 0


                                     324

Страницы