Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 327 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ ∈ H C([−kAk, kAk])
C([−kAk, kAk]) 3 f(λ) 7→ I
0
(φ | f) =< φ , Opb
A
(f)φ > .
C([−kAk, kAk])
∀(φ ∈ H , f ∈ C([−kAk, kAk])) :
|I
0
(φ | f)| ≤ kφk
2
sup{|f(λ)| | λ ∈ [−kAk, kAk]},
(∀(λ ∈ [−kAk, kAk]) : f(λ) ≥ 0) ⇒ (< φ , f(A)φ >≥ 0).
f
∀(λ ∈ [−kAk, kAk]) : f
n
(λ) ≥ 0 , f
n
(λ) & 0 , n → ∞,
sup{f
n
(λ) | λ ∈ [−kAk, kAk]} → 0 , n → ∞,
I
0
(φ | f
n
) → 0 , n → ∞.
f
λ 7→ (f(λ))
1/2
Q
n
(λ)
Q
n
(λ) ⇒ (f(λ)
1/2
, Q
2
n
(λ) ⇒ (f(λ) , n → ∞.
< φ , f(A)φ >= lim
n→∞
< φ , Q
n
(A)
2
φ >=
< Q
n
(A)φ , Q
n
(A)φ >≥ 0.
C([−kAk, kAk])
   Ôèêñèðóåì âåêòîð φ ∈ H è íà ïðîñòðàíñòâå C([−kAk , kAk]) ðàññìîò-
ðèì ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë:
                                            def
      C([−kAk , kAk]) 3 f (λ) 7→ I0 (φ | f ) =< φ , OpbA (f )φ > .   (4.116)

Ëåììà 4.5.6. Îòîáðàæåíèå (4.116) íà ïðîñòðàíñòâå C([−kAk , kAk])
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà â ñõåìå Äàíèýëÿ è
íåðàâåíñòâàì:

       ∀(φ ∈ H , f ∈ C([−kAk , kAk])) :
       |I0 (φ | f )| ≤ kφk2 sup{|f (λ)| | λ ∈ [−kAk , kAk]},         (4.117)
       (∀(λ ∈ [−kAk , kAk]) : f (λ) ≥ 0) ⇒ (< φ , f (A)φ >≥ 0).      (4.118)

     Äîêàçàòåëüñòâî. Ëèíåéíîñòü ôóíêöèîíàëà (4.116) ïî f î÷åâèäíà. Åñ-
ëè
           ∀(λ ∈ [−kAk , kAk]) : fn (λ) ≥ 0 , fn (λ) & 0 , n → ∞,
òî â ñèëó òåîðåìû Äèíè

                sup{fn (λ) | λ ∈ [−kAk , kAk]} → 0 , n → ∞,

ïîýòîìó â ñèëó îöåíêè (4.117)

                           I0 (φ | fn ) → 0 , n → ∞.

Äîêàæåì íåîòðèöàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëà (4.116).
  Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà, òî ôóíêöèÿ

                                λ 7→ (f (λ))1/2

íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ïîëèíîìîâ Qn (λ), ÷òî

                Qn (λ) ⇒ (f (λ)1/2 , Q2n (λ) ⇒ (f (λ) , n → ∞.

Ñëåäîâàòåëüíî,

                 < φ , f (A)φ >= lim < φ , Qn (A)2 φ >=
                                  n→∞
                 < Qn (A)φ , Qn (A)φ >≥ 0.

   Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî C([−kAk , kAk]) êàê ïðîñòðàíñòâî ýëåìåí-
òàðíûõ ôóíêöèé ïðè ïîñòðîåíèè èíòåãðàëà Äàíèýëÿ.

                                     315

Страницы