Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 325 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

id − A
(n+1)
= id − A
n
+ A
2
n
≥ 0.
A
2
n
= A
n
− A
(n+1)
,
X
0≤m≤n
A
2
m
= A − A
(n+1)
≤ A.
∀f : < f , A
2
n
f >→ 0 , n → ∞.
∀(f ∈ H , g ∈ H) : < f , A
n
g >→ 0 , n → ∞.
∀n : < f , ABf >=
X
0≤m≤n
< f , A
2
m
Bf > + < f , A
(n+1)
Bf >=
X
0≤m≤n
< A
m
f , BA
m
f > + < f , A
(n+1)
Bf >→
X
0≤m<∞
< A
m
f , BA
m
f >≥ 0, n → ∞.
A
a = inf{< f , Af >| kfk = 1} , b = sup{< f , Af >| kfk = 1}.
p(λ)
∀(λ ∈ [a , b]) : p(λ) ≥ 0,
p(A) ≥ 0.
p(λ) =
Y
j,k,l,s
(λ − α
j
)(β
k
− λ)(λ − ω
l
)
2
((λ − σ
s
)
2
+ γ
2
s
),
òî
                           id − A(n+1) = id − An + A2n ≥ 0.
Íåðàâåíñòâî (4.109) äîêàçàíî.
   Òàê êàê
                          A2n = An − A(n+1) ,
òî                              X
                                       A2m = A − A(n+1) ≤ A.               (4.110)
                               0≤m≤n

Ñëåäîâàòåëüíî,
                           ∀f : < f , A2n f >→ 0 , n → ∞.
Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ è ïîëÿðèçàöèîííîãî òîæäåñòâà ñëåäóåò, ÷òî

                  ∀(f ∈ H , g ∈ H) : < f , An g >→ 0 , n → ∞.

Íî òîãäà èç (4.110) ñëåäóåò, ÷òî
                                  X
       ∀n : < f , ABf >=                  < f , A2m Bf > + < f , A(n+1) Bf >=
                                 0≤m≤n
         X
                < Am f , BAm f > + < f , A(n+1) Bf >→
        0≤m≤n
         X
                < Am f , BAm f >≥ 0, n → ∞.
        0≤m<∞


Ëåììà äîêàçàíà.
  Èç ýòîé ëåììû ëåãî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå.
  Ïóñòü A -îãðàíè÷åííûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Ïîëîæèì

     a = inf{< f , Af >| kf k = 1} , b = sup{< f , Af >| kf k = 1}.        (4.111)

Ëåììà 4.5.4. Åñëè p(λ) -òàêîé ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýô-
ôèöèåíòàìè, ÷òî
                                 ∀(λ ∈ [a , b]) : p(λ) ≥ 0,
òî
                                          p(A) ≥ 0.

     Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                  Y
           p(λ) =     (λ − αj )(βk − λ)(λ − ωl )2 ((λ − σs )2 + γs2 ),
                     j,k,l,s



                                            313

Страницы