Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 321 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

tr(AB) =
X
1≤j<∞
< e
j
, ABe
j
>=
X
1≤j<∞
< A
∗
e
j
, Be
j
>=
X
1≤j<∞ , 1≤i<∞
< e
j
, Ae
i
>< e
i
, Be
j
> .
|A|
X
1≤j<∞
< e
j
, Ae
j
>
=
X
1≤j<∞
< e
j
, U|A|e
j
>
≤
X
1≤j<∞
s
j
(A)| < e
j
, Ue
j
> | ≤ kA | HSk.
A f
f(A)
A
∀(φ ∈ H , n ∈ Z
+
) : A
n
φ =
X
λ
j
λ
n
j
< e
j
, φ > e
j
,
{λ
j
} = σ(A) A , e
j
∀(φ ∈ H) : p(A)φ =
X
λ
j
p(λ
j
) < e
j
, φ > e
j
,
   Äàëåå èìååì:
                     X                            X
         tr(AB) =           < ej , ABej >=            < A∗ ej , Bej >=
                    1≤j<∞                    1≤j<∞
             X
                         < ej , Aei >< ei , Bej > .
         1≤j<∞ , 1≤i<∞


Âûïèñàííîå ðàâåíñòâî äîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (4.103).
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà (4.104) âûáåðåì ïîëíóþ îðòîíîðìè-
ðîâàííóþ ñèñòåìó òàê, ÷òîáû îíà âêëþ÷àëà â ñåáÿ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ
ôóíêöèé îïåðàòîðà |A|. Òîãäà ïîëó÷èì:

              X                          X
                     < ej , Aej > =            < ej , U |A|ej > ≤
             1≤j<∞                     1≤j<∞
              X
                    sj (A)| < ej , U ej > | ≤ kA | HSk.
            1≤j<∞


Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì (4.102) ôóíêöèîíàë íàçûâàåòñÿ ñëåäîì îïå-
ðàòîðà.



4.5    Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå îãðàíè÷åííûõ

       ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ.

Íàøà öåëü ñîñòîèò â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 4.5.2. Ýòà òåîðåìà, âî-
ïåðâûõ, îïèñûâàåò îáùèé âèä ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà â ãèëüáåð-
òîâîì ïðîñòðàíñòâå è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðàíåå äîêàçàííîé òåîðåìû
Ãèëüáåðòà-Øìèäòà 4.4.1. Âî-âòîðûõ, îíà ïîçâîëÿåò äëÿ ëþáîé çàäàííîé
íà ñïåêòðå îïåðàòîðà A áîðåëåâñêîé ôóíêöèè f îïðåäåëèòü îïåðàòîð
f (A). Ïîÿñíèì ñîäåðæàíèå òåîðåìû 4.5.2 íà ïðèìåðå.
    Ïóñòü A êîìïàêòíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Òîãäà
                                         X
             ∀(φ ∈ H , n ∈ Z+ ) : An φ =   λnj < ej , φ > ej ,
                                             λj


ãäå {λj } = σ(A) -ñïåêòð îïåðàòîðà A , ej -åãî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Ñëå-
äîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                   X
                ∀(φ ∈ H) : p(A)φ =      p(λj ) < ej , φ > ej ,
                                        λj


                                      309

Страницы