Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 319 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

U
AB
AB
< e
j
, |AB|e
j
>=< e
j
, U
−1
P
AB
ABe
j
>=< A
∗
(U
−1
P
AB
)
∗
e
j
, Be
j
> .
HS
X
1≤j<∞
< e
j
, |AB|e
j
>= HS(A
∗
(U
−1
P
AB
)
∗
, B) < ∞.
L(H 7→ H)
A 7→ kA | Nclk
∀(A , B ∈ ) : kzA | Nclk = |z|kA | Nclk,
kA + B | Nclk ≤ kA | Nclk + kB | Nclk.
(A ∈ , B ∈ ) ⇒ ((A + B) ∈ ).
{e
j
, 1 ≤ j < ∞}
H
|A + B| = U
−1
(A+B)
P
(A+B)
(A + B),
< e
j
, |A + B|e
j
>=< e
j
, U
−1
(A+B)
P
(A+B)
(A + B)e
j
>=
< e
j
, U
−1
(A+B)
P
(A+B)
Ae
j
> + < e
j
, U
−1
(A+B)
P
(A+B)
Be
j
> .
< e
j
, U
−1
(A+B)
P
(A+B)
Ae
j
>=< e
j
, U
−1
(A+B)
P
(A+B)
U
A
|A|
1/2
|A|
1/2
e
j
>=
< (U
−1
(A+B)
P
(A+B)
U
A
|A|
1/2
)
∗
e
j
, |A|
1/2
e
j
>,
ãäå UAB - óíèòàðíûé îïåðàòîð, âõîäÿùèé â ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå îïåðà-
òîðà AB . Ïîýòîìó

      < ej , |AB|ej >=< ej , U −1 PAB ABej >=< A∗ (U −1 PAB )∗ ej , Bej > .

Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå áèëèíåéíîé ôîðìû HS (ñì. (4.87), ñòð. 302), ìû
âèäèì, ÷òî
        X
            < ej , |AB|ej >= HS(A∗ (U −1 PAB )∗ , B) < ∞.     (4.100)
          1≤j<∞


Òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåîðåìà 4.4.15. Ìíîæåñòâî ÿäåðíûõ îïåðàòîðîâ Ncl åñòü ëèíåéíîå
ïîäïðîñòðàíñòâî â       L(H 7→ H)     è îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì      (4.97) ôóíê-
öèÿ   A 7→ kA | N clk   óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì íîðìû:

                   ∀(A , B ∈ Ncl) : kzA | N clk = |z|kA | N clk,
                   kA + B | N clk ≤ kA | N clk + kB | N clk.

Îòíîñèòåëüíî íîðìû           (4.97) ïðîñòðàíñòâî ÿäåðíûõ îïåðàòîðîâ åñòü
áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Îäíîðîäíîñòü îïðåäåëåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ ðàâåí-
ñòâà (4.97) ôóíêöèè î÷åâèäíà. Äîêàæåì, ÷òî

                     (A ∈ Ncl , B ∈ Ncl) ⇒ ((A + B) ∈ Ncl).

Ïóñòü {ej , 1 ≤ j < ∞} -ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â ïðîñòðàí-
ñòâå H . Èç ôîðìóëû (4.57) ñëåäóåò, ÷òî
                   −1
        |A + B| = U(A+B) P(A+B) (A + B),

ïîýòîìó

                                    −1
         < ej , |A + B|ej >=< ej , U(A+B) P(A+B) (A + B)ej >=
                 −1
         < ej , U(A+B)                        −1
                       P(A+B) Aej > + < ej , U(A+B) P(A+B) Bej > .        (4.101)

Äàëåå èìååì:
              −1                         −1
      < ej , U(A+B) P(A+B) Aej >=< ej , U(A+B) P(A+B) UA |A|1/2 |A|1/2 ej >=
          −1
      < (U(A+B) P(A+B) UA |A|1/2 )∗ ej , |A|1/2 ej >,

                                         307

Страницы