Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 305 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
(j−1)
= {h
i
, 1 ≤ i ≤ j −1}
{α
i
, 1 ≤ i ≤ j}
∀(k ≤ j −1) :
X
1≤i≤j
α
i
< e
+
i
, h
k
>= 0 ,
X
1≤i≤j
|α
i
|
2
= 1.
φ =
X
1≤i≤j
α
i
e
+
i
.
kφk = 1 , φ ∈ (L
(j−1)
)
⊥
, < φ , Aφ >=
X
1≤i≤j
λ
+
i
|α
i
|
2
≥ λ
+
j
,
ν
+
(L
(j−1)
) ≥< φ , Aφ >≥ λ
+
j
.
ν
+
(e
+
1
, . . . e
+
(j−1)
) = λ
+
j
,
A 7→ −A
λ
j
(A) λ
j
(B)
A B
A ≥ B,
∀j : λ
j
(A) ≥ λ
j
(B).
{e
j
}
α
j
→ 0 , j → ∞
Af =
X
j
α
j
< e
j
, f > e
j
ïóñòü
                      L(j−1) = span{hi , 1 ≤ i ≤ j − 1}
è îïðåäåëèì ÷èñëà {αi , 1 ≤ i ≤ j} èç óñëîâèé
                         X                         X
          ∀(k ≤ j − 1) :      αi < e+
                                    i , h k >= 0 ,   |αi |2 = 1.
                            1≤i≤j                             1≤i≤j


Ïóñòü                                    X
                                 φ=             αi e +
                                                     i .
                                        1≤i≤j

Òîãäà
                                                           X
          kφk = 1 , φ ∈ (L(j−1) )⊥ , < φ , Aφ >=                   λ+      2   +
                                                                    i |αi | ≥ λj ,
                                                           1≤i≤j

ïîýòîìó
                       ν + (L(j−1) ) ≥< φ , Aφ >≥ λ+
                                                   j .

Íî
                                             +          +
                            ν + (e+
                                  1 , . . . e(j−1) ) = λj ,

÷òî è äîêàçûâàåò (4.43).
   Ðàâåíñòâî (4.45) ïîëó÷àåòñÿ èç (4.43) çàìåíîé A 7→ −A. Òåîðåìà äî-
êàçàíà.

Ñëåäñòâèå 4.4.1. Åñëè λ (A) è λ (B) -çàíóìåðîâàííûå â ïîðÿäêå óáû-
                             j           j
âàíèÿ ñîáñòâåííûå ÷èñëà ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ                        A   è   B   è

                                        A ≥ B,

òî
                              ∀j : λj (A) ≥ λj (B).

   Ôîðìóëà (4.40) â íåêîòîðîì ñìûñëå çàäàåò îáùèé âèä êîìïàêòíîãî
ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Ëåììà 4.4.1. Åñëè {e } -îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â ãèëüáåðòîâîì
                        j
ïðîñòðàíñòâå è    αj → 0 , j → ∞        -ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, òî îïåðàòîð
                                    X
                            Af =        αj < ej , f > ej
                                    j

êîìïàêòåí.


                                         293

Страницы