Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 298 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x → tx
t < x , Ax >6= 0
z =
< y , Ay >
< x , Ax >
1/4
exp(i arg(< x , Ay > /2))
m
−
= inf{< x , Ax >| kxk = 1},
m
+
= sup{< x , Ax >| kxk = 1}.
A σ(A) ⊂ [m
−
, m
+
] , m
±
∈
σ(A)
A
x 7→< x , Ax >
∀(x ∈ H , β ∈ R
1
) : k(A + iβid)xk
2
= kAxk
2
+ β
2
kxk
2
≥ β
2
kxk
2
.
A → A + iaid , a ∈ R
1
β ∈ R
1
, β 6= 0 (A + iβid)
β 6= 0 , H
0
= Im(A + iβid).
H
0
y
n
∈ H
0
, y
n
→ y
0
, n → ∞.
èíà÷å ýòî íåðàâåíñòâî ñòàíåò ïðîòèâîðå÷èâûì ïðè çàìåíå x → tx è ñî-
îòâåòñòâóþùåì âûáîðå ïàðàìåòðà t. Åñëè < x , Ax >6= 0, òî ìû ìîæåì
ïîëîæèòü
                             1/4
                   < y , Ay >
             z=                    exp(i arg(< x , Ay > /2))
                   < x , Ax >
è ïîëó÷èì íóæíîå íåðàâåíñòâî.
   Ëåììà äîêàçàíà.
   Ïîëîæèì

                     m− = inf{< x , Ax >| kxk = 1},
                     m+ = sup{< x , Ax >| kxk = 1}.                       (4.35)

Òåîðåìà 4.3.1. Åñëè îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí, òî σ(A) ⊂ [m          −    , m+ ] , m± ∈
σ(A).
  Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí, òî êâàäðàòè÷íàÿ
ôîðìà
                         x 7→< x , Ax >
ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ è

  ∀(x ∈ H , β ∈ R1 ) : k(A + iβid)xk2 = kAxk2 + β 2 kxk2 ≥ β 2 kxk2 .     (4.36)

Äîêàæåì, ÷òî îòñþäà âûòåêàåò

Ëåììà 4.3.3. Ñïåêòð ñàìîñîïðÿæåííîãî îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà ëå-
æèò íà äåéñòâèòåëüíîé îñè.

Çàìå÷àíèå  4.3.1. Ïîçæå ìû äîêàæåì, ÷òî ñïåêòð ëþáîãî ñàìîñîïðÿæåí-
íîãî îïåðàòîðà ëåæèò íà äåÉñâèòåëüíîé îñè.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñäâèã

                           A → A + iaid , a ∈ R1

ïåðåâîäèò ëþáîé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â ñàìîìîïðÿæåííûé, ïî-
ýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ïðè β ∈ R1 , β 6= 0 îïåðàòîð (A + iβid)
îáðàòèì.
   Ïóñòü
                     β 6= 0 , H0 = Im(A + iβid).
Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî H0 çàìêíóòî. Ïóñòü

                        yn ∈ H0 , yn → y0 , n → ∞.

                                    286

Страницы