Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 295 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B A
kA(x)k ≤ sup{|B(y , x)| | kyk ≤ 1} ≤ Ckxk.
A
B(x , y) =< x , Ay > .
Ker(A) = 0.
Im(A) = H.
B(x , y)
B(x , y) H
H B(x , y)
e
A ∈ L(H 7→ H)
∀(x ∈ H , y ∈ H) : < x , y >= B(x ,
e
Ay) =< x , A
e
Ay > .
Im(A) = H.
Ker(A) = 0 , Im(A) = H,
A
−1
∈ L(H 7→ H)
|B(A
−1
x , A
−1
x)| = | < A
−1
x , x > | ≥ mkA
−1
xk
2
.
∀(kxk = 1) : kA
−1
xk ≥ mkA
−1
xk
2
.
Èç ëèíåéíîñòè ôîðìû B ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A
ëèíååí è
              kA(x)k ≤ sup{|B(y , x)| | kyk ≤ 1} ≤ Ckxk.
Ïîýòîìó îïåðàòîð A íåïðåðûâåí è

                           B(x , y) =< x , Ay > .

Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî.
   Èç (4.26) ñëåäóåò, ÷òî
                           Ker(A) = 0.
Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ êîýðöèòèâíîñòè ñëåäóåò ðàâåíñòâî

                                Im(A) = H.

Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèÿ êîýðöèòèâíîñòè ñëåäóåò, ÷òî áè-
ëèíåéíàÿ ôîðìà B(x , y) íà äèàãîíàëè ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà-
÷åíèÿ è ïîýòîìó êîñîñèììåòðè÷íà. Ñëåäîâàòåëüíî, áèëèíåéíàÿ ôîðìà
B(x , y) çàäàåò íà ïðîñòðàíñòâå H ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ïðè÷åì èí-
äóöèðîâàííàÿ ýòèì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íîðìà ýêâèâàëåíòíà èñ-
õîäíîé íîðìå. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ðèññà ê ãèëüáåðòîâîìó ïðîñòðàíñòâó
H ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì B(x , y), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò
òàêîé îïåðàòîð A e ∈ L(H 7→ H), ÷òî

          ∀(x ∈ H , y ∈ H) : < x , y >= B(x , Ay)
                                              e =< x , AAy
                                                        e >.

Ñëåäîâàòåëüíî,
                                Im(A) = H.
Òàê êàê
                         Ker(A) = 0 , Im(A) = H,
òî èç òåîðåìû Áàíàõà î ñóùåñòâîâàíèè îáðàòíîãî îïåðàòîðà îòñþäà ñëå-
äóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îïåðàòîð A−1 ∈ L(H 7→ H).
   Äàëåå èìååì:

             |B(A−1 x , A−1 x)| = | < A−1 x , x > | ≥ mkA−1 xk2 .

Ïîýòîìó â ñèëó íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

                     ∀(kxk = 1) : kA−1 xk ≥ mkA−1 xk2 .

Îòñþäà è âûòåêàåò íåðàâåíñòâî (4.27).
   Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                     283

Страницы