Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 291 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M ⊂ Cl(M)
(Cl(M))
⊥
⊂ M
⊥
.
x ∈ M
⊥
, y
n
∈ M , y
n
→ y
0
∈ Cl(M).
< x , y
0
>= lim
n→∞
< x , y
n
>= 0,
x ∈ (Cl(M))
⊥
, M
⊥
⊂ (Cl(M))
⊥
.
H
0
H
H = H
0
⊕ H
⊥
0
.
x ∈ H
M = {x − y | y ∈ H
0
}
(x −y
0
)
M
(x −y
0
)
M
∀(w ∈ H
0
) :
d
dz
kx − y
0
+ zwk
2
z=0
= 0,
∀(w ∈ H
0
) :
d
dz
kx − y
0
+ izwk
2
z=0
= 0.
∀(w ∈ H
0
) : < x − y
0
, w > + < x − y
0
, w >
∗
= 0,
∀(w ∈ H
0
) : < x − y
0
, w > − < x − y
0
, w >
∗
= 0.
(x − y
0
) ∈ H
⊥
0
.
x = y
0
+ x − y
0
.
   Èç âêëþ÷åíèÿ
                                 M ⊂ Cl(M )
ñëåäóåò âêëþ÷åíèå
                             (Cl(M ))⊥ ⊂ M ⊥ .
Ïóñòü
                  x ∈ M ⊥ , yn ∈ M , yn → y0 ∈ Cl(M ).
Òîãäà
                     < x , y0 >= lim < x , yn >= 0,
                                    n→∞
ïîýòîìó
                    x ∈ (Cl(M ))⊥ , M ⊥ ⊂ (Cl(M ))⊥ .
Ëåììà äîêàçàíà.
  Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ëåâè î ïðîåêöèè.
Òåîðåìà 4.2.2. Åñëè H     0 -çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå      H,   òî âñå ïðîñòðàíñòâî åñòü ïðÿìàÿ ñóììà

                                H = H0 ⊕ H0⊥ .                           (4.18)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ∈ H . Ìíîæåñòâî

                           M = {x − y | y ∈ H0 }

åñòü çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Ïóñòü (x − y0 ) -ýëåìåíò ñ íàèìåíü-
øåé íîðìîé â ìíîæåñòâå M . Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.2.1 òàêîé ýëåìåíò ñó-
ùåñòâóåò è îí åäèíñòâåíåí. Òàê êàê ýëåìåíò (x − y0 ) èìååò íàèìåíüøóþ
íîðìó ñðåäè âñåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M , òî
                                        d
           ∀(w ∈ H0 ) :                    kx − y0 + zwk2   z=0
                                                                  = 0,
                                        dz
                                       d
           ∀(w ∈ H0 ) :                   kx − y0 + izwk2   z=0
                                                                  = 0.
                                       dz
Âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíûå, ìû ïîëó÷àåì:

           ∀(w ∈ H0 ) : < x − y0 , w > + < x − y0 , w >∗ = 0,
           ∀(w ∈ H0 ) : < x − y0 , w > − < x − y0 , w >∗ = 0.

Ñëåäîâàòåëüíî,
                                (x − y0 ) ∈ H0⊥ .
Òåïåðü îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî

                                x = y0 + x − y0 .

                                      279

Страницы