Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 289 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M
∀(a ∈ M , b ∈ M , α ∈ (0 , 1)) : αa + (1 − α)b ∈ M.
M
H {kxk | x ∈ M}
d
{x
n
} ⊂ M
lim
n→∞
kx
n
k = d = inf{kxk | x ∈ M}.
∀(m > 0) :
1
2
(x
n
+ x
(n+m)
)
2
+
1
2
(x
n
− x
(n+m)
)
2
=
1
2
kx
n
k
2
+ kx
(n+m)
k
2
→ d
2
, n → ∞.
M
1
2
(x
n
+ x
(n+m)
) ∈ M,
∀(n , m) :
1
2
(x
n
+ x
(n+m)
)
2
≥ d
2
,
sup{kx
n
− x
(n+m)
k | 1 ≤ m < ∞} → 0 , n → ∞.
{x
n
}
M
∃(x
0
∈ M) : x
n
→ x
0
, kx
0
k = d.
4.2     Òåîðåìà Ðèññà îá îáùåì âèäå ëèíåéíîãî

        ôóíêöèîíàëà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-

        ñòâå.

Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî M â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ âû-
ïóêëûì, åñëè

            ∀(a ∈ M , b ∈ M , α ∈ (0 , 1)) : αa + (1 − α)b ∈ M.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÷àñòî íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ëåâè.
Òåîðåìà 4.2.1. Â çàìêíóòîì âûïóêëîì ìíîæåñòâå ãèëüáåðòîâà ïðî-
ñòðàíñòâà ñóùåñòâóåò ýëåìåíò ñ íàèìåíüøåé íîðìîé è ýòîò ýëåìåíò
åäèíñòâåíåí.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M -çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H . Ìíîæåñòâî {kxk | x ∈ M } îãðàíè÷åíî ñíèçó,
ïîýòîìó ó ýòîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü d è ñóùå-
ñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ⊂ M , ÷òî

                     lim kxn k = d = inf{kxk | x ∈ M }.                   (4.15)
                     n→∞

 ñèëó ðàâåíñòâà ïàðàëåëëîãðàìà
                       1               2   1                      2
          ∀(m > 0) :     (xn + x(n+m) ) + (xn − x(n+m) )              =
                       2                   2
          1                    
             kxn k2 + kx(n+m) k2 → d2 , n → ∞.                            (4.16)
          2
Íî â ñèëó âûïóêëîñòè ìíîæåñòâà M :
                            1
                              (xn + x(n+m) ) ∈ M,
                            2
ïîýòîìó
                                  1                  2
                     ∀(n , m) :     (xn + x(n+m) )       ≥ d2 ,
                                  2
è èç (4.16) ñëåäóåò, ÷òî

               sup{kxn − x(n+m) k | 1 ≤ m < ∞} → 0 , n → ∞.
Ìû äîêàçàëè, ÷òî óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (4.15) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ôóíäàìåíòàëüíà. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèþ (4.15). Òàê êàê ìíîæåñòâî M çàìêíóòî, òî

                      ∃(x0 ∈ M ) : xn → x0 , kx0 k = d.

                                      277

Страницы