Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 284 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{f
j
| 1 ≤ j < ∞} ⊂ H
H
L
n
= {f
1
, . . . f
n
}.
{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
L
n
⊂ {e
1
, . . . e
n
}
n
n {f
1
. . . , f
n
}
n = 1
e
1
= f
1
/kf
1
k.
f
(n+1)
6∈ {e
1
, . . . e
n
},
e
(n+1)
= µ(f
(n+1)
−
X
1≤j≤n
< e
j
, f
(n+1)
> e
j
).
∀(j ≤ n) : < e
(n+1)
, e
j
>= 0 ; e
(n+1)
6= 0.
µ
ke
(n+1)
k = 1.
f
(n+1)
=
1
µ
e
(n+1)
+
X
1≤j≤n
< e
j
, f
(n+1)
> e
j
∈ {e
1
, . . . e
(n+1)
}.
{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
∀α
j
: kf −
X
1≤j≤n
α
j
e
j
k
2
= kfk
2
−
X
1≤j≤n
| < e
j
, f > |
2
+
X
1≤j≤n
|α
j
− < e
j
, f > |
2
.
Ëåììà 4.1.2. Ïóñòü {f              j   | 1 ≤ j < ∞} ⊂ H             -ïðîèçâîëüíàÿ ñ÷åòíàÿ
ñèñòåìà ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà                          H   è

                                   Ln = span{f1 , . . . fn }.

Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñ÷åòíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ôóíê-
öèé   {ej | 1 ≤ j < ∞},     ÷òî

                                    Ln ⊂ span{e1 , . . . en }

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèì èíäóêöèåé ïî n. Äîñòà-
òî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ïðè êàæäîì n ñèñòåìà ôóíêöèé {f1 . . . , fn }
ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Äëÿ n = 1 ïîëîæèì

                                         e1 = f1 /kf1 k.

Åñëè
                                  f(n+1) 6∈ span{e1 , . . . en },
òî ïîëîæèì
                                               X
                   e(n+1) = µ(f(n+1) −                < ej , f(n+1) > ej ).
                                              1≤j≤n

Î÷åâèäíî, ÷òî

                     ∀(j ≤ n) : < e(n+1) , ej >= 0 ; e(n+1) 6= 0.

Ïàðàìåòð µ âûáåðåì èç óñëîâèÿ

                                         ke(n+1) k = 1.

Èìååì:
                  1           X
       f(n+1) =     e(n+1) +       < ej , f(n+1) > ej ∈ span{e1 , . . . e(n+1) }.
                  µ          1≤j≤n

Ëåììà äîêàçàíà.
  Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì äîêàçûâàåòñÿ
Ëåììà 4.1.3. Åñëè {e          j    | 1 ≤ j < ∞}          -îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà
ýëåìåíòîâ, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
             X                               X                              X
∀αj : kf −           αj ej k2 = kf k2 −            | < ej , f > |2 +            |αj − < ej , f > |2 .
             1≤j≤n                         1≤j≤n                        1≤j≤n
                                                                                           (4.8)

                                               272

Страницы