Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 282 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
0
L
L
0
J : L
0
7→ L
J(L
0
) ⊂ L
∀(a ∈ L
0
, b ∈ L
0
) : < J(a) , J(b) >:=< a , b > .
L L
L
0
H
H
α
< , >
α
L
2
(D , µ(dx)) D ⊂ R
d
L
2
(D , µ(dx))
L
2
(D , µ(dx))
∀(f ∈ L
2
(D , µ(dx)) , g ∈ L
2
(D , µ(dx))) :
< f , g >=
Z
D
f
∗
(x)g(x)µ(dx).
|f
?
(x)g(x)| ≤ |f(x)|
2
+ |g(x)|
2
.
L
2
(D , µ(dx))
l
2
l
2
a = {a
j
| a
j
∈ C
1
, 1 ≤ j < ∞}
X
1≤j<∞
|a
j
|
2
< ∞.
l
2
L
2
(D , µ(dx)) D = R
1
µ(dx)
Z
   Ïóñòü L0 -ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî è ïóñòü L -ïîïîëíåíèå ïðî-
ñòðàíñòâà L0 êàê áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà. Îïåðàòîð âëîæåíèÿ

                                    J : L0 7→ L
ëèíååí, è ýòî ïîçâîëÿåò çàäàòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ëèíåéíîì ìíî-
ãîîáðàçèè J(L0 ) ⊂ L, ïîëîæèâ ïî îïðåäåëåíèþ

             ∀(a ∈ L0 , b ∈ L0 ) : < J(a) , J(b) >:=< a , b > .
Ïî íåïðåðûâíîñòè ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü
íà âñå ïðîñòðàíñòâî L è ïðåâðàòèòü L â ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî. Ïî-
ëó÷åííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïîïîëíåíèåì ïðåäãèëü-
áåðòîâà ïðîñòðàíñòâà L0 . Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî îáû÷íî îáîçíà÷þò
ñèìâîëîì H .
   Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå Hα ìû áóäåì
îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì < , >α .
   Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.
Ïðèìåð  4.1.1.Ïðîñòðàíñòâî                          .
                                L2 (D , µ(dx)) Ïóñòü D ⊂ Rd è L2 (D , µ(dx))
îïðåäåëåíî êàê â 1.1.14 (ñì. ñòð. 44). Ïðåâðàòèì ïðîñòðàíñòâî L2 (D , µ(dx))
â ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ïîëîæèâ ïî îïðåäåëåíèþ

                   ∀(f ∈ L2 (D , µ(dx)) , g ∈ L2 (D , µ(dx))) :
                               Z
                    < f , g >= f ∗ (x)g(x)µ(dx).                     (4.7)
                                D

Èíòåãðàë â (4.7) ñóùåñòâóåò â ñèëó íåðàâåíñòâà

                         |f ? (x)g(x)| ≤ |f (x)|2 + |g(x)|2 .
Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà L2 (D , µ(dx)) åñòü ñëåäñòâèå òåîðåìû Ðèññà-Ôèøåðà
1.1.6 (ñì. ñòð. 43).
Ïðèìåð  4.1.2.Ïðîñòðàíñòâî .l2 Ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà l2 ÿâëÿþòñÿ
òàêèå ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

                        a = {aj | aj ∈ C1 , 1 ≤ j < ∞}
÷òî                                 X
                                         |aj |2 < ∞.
                                 1≤j<∞

Ïðîñòðàíñòâî l ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà
               2

L2 (D , µ(dx)) ïðè D = R1 , åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî íîñèòåëü ìåðû µ(dx) åñòü
ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z.

                                         270

Страницы