Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 280 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H = ⊕
X
j
H
j
∀(a ∈ H , b ∈ H) : < a , b >=
X
j
< a
j
, b
j
>
j
, a
j
∈ H
j
, b
j
∈ H
j
,
< , >
j
H
j
∀(a ∈ L , b ∈ L) : | < a , b > | ≤< a , a >
1/2
< b , b >
1/2
.
< a , b >6= 0.
∀(z ∈ C
1
) : < za − z
−1
b , za − z
−1
b >=
|z|
2
< a , a > +|z|
−2
< b , b > −2Re (exp(−2i arg(z)) < a , b >) ≥ 0
z =
< b , b >
< a , a >
1/4
exp(iθ) , θ = (1/2) arg(< a , b >)
L 3 a 7→< a , a >
1/2
∈ R
1
+
   Âìåñòî óñëîâèÿ ëèíåéíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïî âòîðîìó àð-
ãóìåíòó ÷àñòî ïðèíèìàþò óñëîâèå ëèíåéíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó. Ìû áóäåì ñëåäîâàòü ñëîæèâøåéñÿ â ìàòåìàòè÷å-
ñêîé ôèçèêå òðàäèöèè.
   Â ïðÿìîé ñóììå óíèòàðíûõ ïðîñòðàíñòâ
                                  X
                           H=⊕       Hj
                                                 j

ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ââîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
                                  X
    ∀(a ∈ H , b ∈ H) : < a , b >=   < aj , bj >j , aj ∈ Hj , bj ∈ Hj ,
                                            j

ãäå < , >j -ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå Hj .
Òåîðåìà 4.1.1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà óíèòàðíîì ïðîñòðàíòñâå
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

          ∀(a ∈ L , b ∈ L) : | < a , b > | ≤< a , a >1/2 < b , b >1/2 .    (4.1)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé

                                      < a , b >6= 0.

 íåðàâåíñòâå

    ∀(z ∈ C1 ) : < za − z −1 b , za − z −1 b >=
    |z|2 < a , a > +|z|−2 < b , b > −2Re (exp(−2i arg(z)) < a , b >) ≥ 0

ïîëîæèì
                              1/4
                    < b, b >
           z=                         exp(iθ) , θ = (1/2) arg(< a , b >)
                    < a, a >
Ïîëó÷èì (4.1).
   Íåðàâåíñòâî (4.1) â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå íà ðóññêîì ÿçûêå íà-
çûâþò íåðàâåíñòâîì Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî.  ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå
íà àíãëèéñêîì ÿçûêå ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàþò íåðàâåíñòâîì Êîøè èëè
íåðàâåíñòâîì Øâàðöà.
Òåîðåìà 4.1.2. Íà óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèÿ
                          L 3 a 7→< a , a >1/2 ∈ R1+                       (4.2)

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì íîðìû.


                                           268

Страницы