Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 443 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

K
f ∈ D
0
{f
N
∈ C
∞
(R
d
)
∀(suppψ b K) : f(ψ) = lim
N→∞
Z
K
f
N
(x)ψ(x)dx.
f
N
f
N
(x) = (4a)
−d
X
|n|≤N
f
y
(κ(y
1
) . . . κ(y
d
) exp(−iπ(n , y)/2a)) exp(iπ(n , x)/2a).
P (D) =
X
0≤|m|≤N
a(m)D
m
x
,
m = (m
1
, . . . , m
d
) ∈ Z
d
, |m| = m
1
+ ···m
d
,
a(m) ∈ C
1
,
D
m
x
= (−i∂
x
1
)
m
1
···(−i∂
x
d
)
m
d
.
N
A(P )
2
:=
X
|m|=N
|a(m)|
2
6= 0.
E
P (D)
P (D)E = δ.
Çàìå÷àíèå  6.2.1. Ïîäñòàâëÿÿ â (6.60) âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ
Ôóðüå, ìû ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K è ëþáîãî ôóíêöèîíàëà
f ∈ D0 ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {fN ∈ C ∞ (Rd ),
÷òî                                      Z
              ∀(suppψ b K) : f (ψ) = lim   fN (x)ψ(x)dx.
                                              N →∞
                                                     K

 êà÷åñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fN ìîæíî âçÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                X
fN (x) = (4a)−d   fy (κ(y1 ) . . . κ(yd ) exp(−iπ(n , y)/2a)) exp(iπ(n , x)/2a).
                 |n|≤N


      Îòìåòèì, ÷òî îòñþäà ëåãêî ñëåäóåò òåîðåìà 6.2.2.


6.3       Ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöè-

          àëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ ïîñòîÿííûìè êîýô-

          ôèöèåíòàìè.

Äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè íàçû-
âàåòñÿ îïåðàòîð âèäà
                             X
                     P (D) =      a(m)Dxm ,              (6.61)
                                     0≤|m|≤N

ãäå

                 m = (m1 , . . . , md ) ∈ Zd , |m| = m1 + · · · md ,
                 a(m) ∈ C1 ,
                 Dxm = (−i∂x1 )m1 · · · (−i∂xd )md .

Îïåðàòîð (6.61) èìååò ïîðÿäîê N , åñëè
                                X
                      A(P )2 :=      |a(m)|2 6= 0.                       (6.62)
                                      |m|=N


 äàëüíåøåì ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü ýòî óñëîâèå âûïîëíåííûì.

Îïðåäåëåíèå 6.3.1. Ðàñïðåäåëåíèå E               íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì
ðåøåíèåì äëÿ îïåðàòîðà P (D), åñëè

                                   P (D)E = δ.                           (6.63)

                                        431

Страницы