Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 444 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P (D)
P (D)w = u.
E P (D)
w = E ∗u
P (D)(E ∗ u) = (P (D)E) ∗ u = δ ∗u = u.
D(R
d
) D
?
(R
d
).
D
?
(R
d
).
f(z) |z| < 1
|z| ≤ 1
|f(0)| ≤
1
2π
Z
2π
0
|f(exp(iθ)|dθ.
f(0) =
1
2πi
I
|z|=1
f(z)
z
dz =
1
2π
Z
2π
0
f(exp(iθ))dθ.
Q(λ) , λ ∈ C
1
n
c
Q(λ) = cλ
n
+ aλ
n−1
+ ···
Q
0
(λ) n
Q
0
(0) = c , |Q
0
(exp(iθ
0
))| ≡ |Q(exp(iθ
0
))|, 0 ≤ θ
0
< 2π.
   ×àñòî âìåñòî òåðìèíà ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåèå äëÿ îïåðàòîðà P (D)
èñïîëüçóþò òåðìèí ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåèå äëÿ óðàâíåíèÿ 
                                  P (D)w = u.                                         (6.64)
òàê êàê åñëè E -ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äëÿ îïåðàòîðà P (D), òî ôóíê-
öèÿ
                             w =E∗u
åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.64):
                  P (D)(E ∗ u) = (P (D)E) ∗ u = δ ∗ u = u.

6.3.1   Ñóùåñòâîâàíèå ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ äëÿ

        äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ñ ïîñòîÿííûìè

        êîýôôèöèåíòàìè.

 ýòîì ïàðàãðàôå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíê-
öèé åñòü D(Rd ) è ïðîñòðàíñòâî ðàñïðåäåëåíèé åñòü D? (Rd ). Ìû äîêàæåì,
÷òî óðàâíåíèå (6.63) èìååò ðåøåíèå â ïðîñòðàíñòâå D? (Rd ). Äîêàçàòåëü-
ñòâó ìû ïðåäïîøëåì íåñêîëüêî ëåìì.
   Ñíà÷àëà ìû íàïîìíèì èçâåñòíîå â òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïå-
ðåìåííîé íåðàâåíñòâî.
Ëåììà 6.3.1. Åñëè ôóíêöèÿ f (z) àíàëèòè÷íà â êðóãå |z| < 1 è íåïðå-
ðûâíà ïðè   |z| ≤ 1,   òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                                        Z       2π
                                    1
                         |f (0)| ≤                   |f (exp(iθ)|dθ.                  (6.65)
                                   2π       0

   Íàïîìíèì äîêàçàòåëñòâî ýòîãî íåðàâåíñòâà. Èç ôîðìóëû Êîøè ñëå-
äóåò, ÷òî
                     I                   Z 2π
                   1       f (z)       1
          f (0) =                dz =         f (exp(iθ))dθ.
                  2πi |z|=1 z         2π 0
Òåïåðü îñòàëîñü âñïîìíèòü, ÷òî ìîäóëü èíòåãðàëà ìåíüøå èëè ðàâåí èí-
òåãðàëó îò ìîäóëÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè.
Ëåììà 6.3.2. Åñëè Q(λ) , λ ∈ C          1
                                            -ïîëèíîì ñòåïåíè             n   ñî ñòàðøèì êî-
ýôôèöèåíòîì c:
                           Q(λ) = cλn + aλn−1 + · · ·
òî ñóùåñòâóåò òàêîé ïîëèíîì             Q0 (λ)         ñòåïåíè   n,    ÷òî

         Q0 (0) = c , |Q0 (exp(iθ0 ))| ≡ |Q(exp(iθ0 ))| , 0 ≤ θ0 < 2π.

                                            432

Страницы