Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 446 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(θ ∈ T ) : w(θ) = {exp(iθ
1
), . . . , exp(iθ
d
)} ∈ C
d
.
F (z) , z ∈ C
d
P (z)
|F (z)| ≤
C
0
(N , d)
A(P )
Z
T
|F (z + w(θ))P (z + w(θ))|dθ.
f(λ) = F (z + λw(θ)) , Q(λ) = P (z + λw(θ)) , λ ∈ C
1
.
Q(λ)
λ
N
c(θ)
Q
0
(λ)
Q
0
(0) = c(θ) , |Q
0
(exp(iθ
0
)| ≡ |Q(exp(iθ
0
))|, 0 ≤ θ
0
< 2π.
1
2π
Z
2π
0
|F (z + exp(iθ
0
)w(θ))P (z + exp(iθ
0
)w(θ))|dθ
0
=
1
2π
Z
2π
0
|f(exp(iθ
0
))Q(exp(iθ
0
)|dθ
0
=
1
2π
Z
2π
0
|f(exp(iθ
0
))Q
0
(exp(iθ
0
)|dθ
0
≥ |f(0)||Q
0
(0)| =
|F (z)||c(θ)|.
dθ
w(θ)
1
2π
Z
T
|F (z + exp(iθ
0
)w(θ))P (z + exp(iθ
0
)w(θ))|dθ
θ
0
z ∈ C
d
, z = Re z + iIm z , Re z ∈ R
d
, Im z ∈ R
d
.
Îïðåäåëèì ôóíêöèþ

                ∀(θ ∈ T ) : w(θ) = {exp(iθ1 ), . . . , exp(iθd )} ∈ Cd .

Ëåììà 6.3.4. Äëÿ ëþáîé öåëîé ôóíêöèè F (z) , z ∈ C                 d
                                                                       è ëþáîãî ïîëè-
íîìà   P (z)   ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                                      Z
                         C0 (N , d)
               |F (z)| ≤                  |F (z + w(θ))P (z + w(θ))|dθ.        (6.70)
                           A(P )      T

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì

           f (λ) = F (z + λw(θ)) , Q(λ) = P (z + λw(θ)) , λ ∈ C1 .

Çàìåòèì, ÷òî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ìíîãî÷ëåíà Q(λ) (êîýôôèöèåíò ïðè
λN ) ðàâåí îïðåäåëÿåìîé ðàâåíñòâîì (6.67) ôóíêöèè c(θ).
    Ïóñòü ìíîãî÷ëåí Q0 (λ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

          Q0 (0) = c(θ) , |Q0 (exp(iθ0 )| ≡ |Q(exp(iθ0 ))| , 0 ≤ θ0 < 2π.

Ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ìíîãî÷ëåíà ãàðàíòèðîâàíî ëåììîé 6.3.2.
  Â ñèëó ëåììû 6.3.1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
               Z 2π
            1
                    |F (z + exp(iθ0 )w(θ))P (z + exp(iθ0 )w(θ))|dθ0 =
           2π 0
               Z 2π
            1
                    |f (exp(iθ0 ))Q(exp(iθ0 )|dθ0 =
           2π 0
               Z 2π
            1
                    |f (exp(iθ0 ))Q0 (exp(iθ0 )|dθ0 ≥ |f (0)||Q0 (0)| =
           2π 0
           |F (z)||c(θ)|.

Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî íåðàâåíñòâî ïî dθ è ó÷òåì, ÷òî â ñèëó ïåðèîäè÷íî-
ñòè ôóíêöèè w(θ) èíòåãðàë
              Z
            1
                |F (z + exp(iθ0 )w(θ))P (z + exp(iθ0 )w(θ))|dθ
           2π T

íå çàâèñèò îò θ0 . Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 6.3.3.
   Ëåììà äîêàçàíà.
   Ïóñòü

                z ∈ Cd , z = Re z + iIm z , Re z ∈ Rd , Im z ∈ Rd .

                                           434

Страницы