Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 447 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ ∈ D
∀(φ ∈ D, φ b K , N) , ∃(C
1
(K , N) , C
2
(K , N)) : |F (φ)(z)|
≤ C
1
(K , N) exp(C
2
(K , N)|Im z|)(1 + |Re z|
2
)
−N
kφ | (2N , D(R
d
) , K)k,
C
1
(K , N) , C
2
(K , N) N
K = {x | x ∈ R
d
, |x
i
| ≤ a} φ
F (φ)(z) =
Z
K
exp(−i(z , x))φ(x)dx =
Z
K
exp(−i(Re z , x)) exp((Im z , x))φ(x)dx,
(1 + |Re z|
2
)
N
F (φ)(z) =
Z
K
((1 − ∆
x
)
N
exp(−i(Re z , x))) exp((Im z , x))φ(x)dx =
Z
K
exp(−i(Re z , x))((1 − ∆
x
)
N
exp((Im z , x))φ(x))dx,
|(1 + |Re z|
2
)
N
F (φ)(z)| ≤
Z
K
|((1 − ∆
x
)
N
exp((Im z , x))φ(x))|dx ≤
C
1
(K , N) exp(C
2
(K , N)|Im z|)kφ | (2N , D(R
d
) , K)k.
D
D 3 φ 7→ kφ | B(D)k :=
Z
R
d
×T
|F (φ)(ξ + w(θ))|dξdθ,
kφ
n
| B(D)k → 0 φ
n
D
→ 0.
B(D) D k | B(D)k
B(D)
L(P ) := {ψ | ψ = P (D)φ , φ ∈ D}.
Ëåììà 6.3.5. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè φ ∈ D åñòü öåëàÿ ôóíê-
öèÿ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå

∀(φ ∈ D ,   supp   φ b K , N ) , ∃(C1 (K , N ) , C2 (K , N )) : |F (φ)(z)|
 ≤ C1 (K , N ) exp(C2 (K , N )|Im z|)(1 + |Re z|2 )−N kφ | (2N , D(Rd ) , K)k,
                                                                          (6.71)

ãäå êîíñòàíòû  C1 (K , N ) , C2 (K , N ) çàâèñÿò òîëüêî îò N è êîìïàêòà
               d
K = {x | x ∈ R , |xi | ≤ a}, ñîäåðæàùåãî íîñèòåëü ôóíêöèè φ.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
              Z
   F (φ)(z) =    exp(−i(z , x))φ(x)dx =
    Z          K

       exp(−i(Re z , x)) exp((Im z , x))φ(x)dx,
     K
   (1 + |Re z|2 )N F (φ)(z) =
    Z
       ((1 − ∆x )N exp(−i(Re z , x))) exp((Im z , x))φ(x)dx =
    ZK
       exp(−i(Re z , x))((1 − ∆x )N exp((Im z , x))φ(x))dx,
     K                        Z
               2 N
   |(1 + |Re z| ) F (φ)(z)| ≤    |((1 − ∆x )N exp((Im z , x))φ(x))|dx ≤
                                   K
   C1 (K , N ) exp(C2 (K , N )|Im z|)kφ | (2N , D(Rd ) , K)k.

Ëåììà äîêàçàíà.
  Èç îöåíêè (6.71) âûòåêàåò

Ëåììà 6.3.6. Íà ïðîñòðàíñòâå D êîððåêòíî îïðåäåëåí ôóíêöèîíàë
                                          Z
             D 3 φ 7→ kφ | B(D)k :=             |F (φ)(ξ + w(θ))|dξdθ,
                                        Rd ×T

êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì íîðìû, ïðè÷åì

                                                      D
                          kφn | B(D)k → 0 ïðè φn → 0.                         (6.72)

   Ïóñòü B(D) -ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà D ïî íîðìå k                      | B(D)k. Â
ïðîñòðàíñòâå B(D) ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå

                       L(P ) := {ψ | ψ = P (D)φ , φ ∈ D}.                     (6.73)

                                        435

Страницы