Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 449 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

|l
0
(ψ)| ≤
Z
R
d
|F (φ)(ξ)|dξ ≤
C(P )
Z
R
d
Z
T
|F (φ)(ξ + w(θ))P (ξ + w(θ))|dθ
dξ =
C(P )
Z
R
d
Z
T
|F (ψ)(ξ + w(θ))|dθ
dξ = C(P )kψ | B(D)k,
C(P ) P
l
0
P (D)ψ = 0
D.
D
l L(P )
l
0
B(D) l
L(P ) l
0
B(D)
∀(ψ ∈ B(D)) : |l(ψ)| ≤ C(P )kψ | B(D)k.
D ⊂ B(D) l
D
l D
D
0
Äàëåå ìû âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 6.3.4 è íåðàâåíñòâîì (6.70). Ïîëó÷èì:
                         Z
           |l0 (ψ)| ≤           |F (φ)(ξ)|dξ ≤
                        Rd
                                                                    
                   Z        Z
           C(P )                |F (φ)(ξ + w(θ))P (ξ + w(θ))|dθ dξ =
                   Rd       T
                                                      
                   Z        Z
           C(P )                |F (ψ)(ξ + w(θ))|dθ dξ = C(P )kψ | B(D)k,
                   Rd       T


ãäå C(P ) -íåêîòðîðàÿ êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ïîëèíîìà P .
   Ëåììà äîêàçàíà.
   Çàìå÷àíèå. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå êîððåêòíîñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöè-
îíàëà l0 ñëåäóåò èìåòü ââèäó, ÷òî ìíîæåñòâî íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé
óðàâíåíèÿ
                              P (D)ψ = 0
íå ïóñòî, íî, êàê ïîêàçûâàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 6.3.7, ýòî ìíîæåñòâî
íå ñîäåðæèò ôóíêöèé èç D.

Ëåììà 6.3.8. Íà ïðîñòðàíñòâå D ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé
ôóíêöèîíàë l, êîòîðûé íà ìíîãîîáðàçèè                      L(P )   ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèîíà-
ëîì l0 .

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû Õàíà-Áàíàõà è ëåììû 6.3.7 ñëåäóåò, ÷òî
íà ïðîñòðàíñòâå B(D) ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë l, êîòîðûé íà
ìíîãîîáðàçèè L(P ) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèîíàëîì l0 è íà âñåì ïðîñòðàíñòâå
B(D) óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå

                        ∀(ψ ∈ B(D)) : |l(ψ)| ≤ C(P )kψ | B(D)k.                      (6.78)

Òàê êàê D ⊂ B(D) òî ôóíêöèîíàë l îïðåäåëåí íà âñåì ïðîñòðàíñòâå
D. Èç îöåíêè (6.78) è ëåììû 6.3.6 ( ñîîòíîøåíèå (6.72)) ñëåäóåò, ÷òî
ôóíêöèîíàë l íåïðåðûâåí íà D.
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ìàëüãðàíæà-Ýðåíïðàéñà.

Òåîðåìà 6.3.1. Ó ëþáîãî íåíóëåâîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ñ
ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè â ïðîñòðàíñòâå                            D0   ñóùåñòâåò ôóíäà-
ìåíòàëüíîå ðåøåíèå.


                                                 437

Страницы