Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 451 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
d
dt
=
d
dt
n
+ a
(n−1)
d
dt
n−1
+ ··· + a
0
, t ∈ R
1
.
L(λ) = λ
n
+ a
(n−1)
λ
n−1
+ ··· + a
0
.
K(t)
LK(t) = 0,
K
(n−1)
(0) = 1 , K
(n−2)
(0) = ··· = K(0) = 0.
K(t) =
1
2πi
I
|λ|=R
exp(λt)
L(λ)
dλ,
R L(λ)
L
d
dt
E(t) = δ(t)
E(t) = θ(t)K(t).
∀(φ ∈ D(R)):
Z
+∞
−∞
E(t)L
−
d
dt
φdt =
Z
+∞
0
K(t)L
−
d
dt
φdt = φ(0).
L
K(t)
Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû.
Ïóñòü
                                   n                          n−1
                d                d                            d
        L                =                 + a(n−1)                       + · · · + a0 , t ∈ R1 .   (6.80)
                dt               dt                           dt
Äèôôåðåíöèàëüíîìó îïåðàòîðó (6.80) ìû ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ïî-
ëèíîì
                L(λ) = λn + a(n−1) λn−1 + · · · + a0 .
Íàïîìíèì
Îïðåäåëåíèå 6.3.2. Ôóíêöèåé Êîøè K(t) äëÿ îïåðàòîðà (6.80) íàçû-
âàåòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                         LK(t) = 0,
                         K (n−1) (0) = 1 , K (n−2) (0) = · · · = K(0) = 0.
   Ïðîñòîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ Êîøè ìîæåò áûòü âû-
÷èñëåíà ïî ôîðìóëå
                                I
                            1       exp(λt)
                    K(t) =                  dλ,             (6.81)
                           2πi        L(λ)
                                                          |λ|=R

ãäå ðàäèóñ R áîëüøå ìîäóëÿ âñåõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà L(λ).
Óòâåðæäåíèå 6.3.1. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                         
                                                     d
                                             L                E(t) = δ(t)                           (6.82)
                                                     dt
äàåòñÿ ôîðìóëîé
                                              E(t) = θ(t)K(t).                                      (6.83)
   Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòåíííûì âû÷èñëåíèåì.
Äåëàåòñÿ ýòî òàê. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé îò ðàñïðåäåëåíèÿ, ðà-
âåíñòâî (6.83) îçíà÷àåò, ÷òî
                               Z +∞              
                                               d
                 ∀(φ ∈ D(R)) :       E(t)L −        φdt =
                                −∞             dt
                 Z +∞             
                                d
                       K(t)L −       φdt = φ(0).
                  0             dt
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïåðåáðàñûâàåì îïåðàòîð L íà
K(t) è ó÷èòûâàåì ïîäñòàíîâêó â íóëå.
   Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ôîðìóëà (6.83) ôàêòè÷åñêè åñòü ëèøü äðóãàÿ
çàïèñü ôîðìóëû Äþàìåëÿ (3.275).

                                                              439

Страницы