Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 453 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x
d
2
b
E(ξ , t)
dt
2
+ ξ
2
b
E(ξ , t) = δ(t) , t ∈ R
1
, ξ ∈ R
3
.
b
E(ξ , t) = θ(t)
sin(|ξ|t)
|ξ|
, t ∈ R
1
, ξ ∈ R
3
.
∀(t > 0): E(x , t) =
1
2π
3
lim
R→∞
Z
|ξ|≤R
exp(i(ξ x))
sin(|ξ|t)
|ξ|
dξ =
1
2π
3
2π lim
R→∞
R
Z
0
π
Z
0
exp(ir|x|cos(θ)) sin(θ)dθ
sin(rt)rdr =
1
2π
2
1
|x|
lim
R→∞
R
Z
0
2 sin(r|x|) sin(rt)dr =
1
2π
2
1
|x|
lim
R→∞
sin((t − |x|)R)
(t − |x|)
−
sin((t + |x|)R)
(t + |x|)
=
1
4π|x|
δ(|x| − t).
E(x , t) =
1
4π|x|
δ(|x| − t) , x ∈ R
3
.
∂
2
∂t
2
− ∆
x
E(x , t) = δ(t)δ(x) , t ∈ R
1
, x ∈ R
2
.
φ(x
1
, x
2
, x
3
, t) = ψ(x
1
, x
2
, t)κ(x
3
, 0 , R , 1) , R → ∞,
Áåðÿ îò (6.86) ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé x, ìû ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå

                    d2 E(ξ
                       b , t)
                              + ξ 2 E(ξ
                                    b , t) = δ(t) , t ∈ R1 , ξ ∈ R3 .
                        dt2
Ñëåäîâàòåëüíî,

                       b , t) = θ(t) sin(|ξ|t) , t ∈ R1 , ξ ∈ R3 .
                       E(ξ
                                        |ξ|
Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå,ïîëó÷àåì:
                            3     Z
                             1                    sin(|ξ|t)
     ∀(t > 0) : E(x , t) =      lim   exp(i(ξ x))           dξ =
                            2π R→∞                   |ξ|
                                                     |ξ|≤R
                                    π                         
              3            ZR     Z
           1
                    2π lim          exp(ir|x| cos(θ)) sin(θ)dθ sin(rt)rdr =
          2π          R→∞
                               0     0
              2              ZR
           1         1
                         lim        2 sin(r|x|) sin(rt)dr =
          2π        |x| R→∞
                               0
              2                                                      
         1      1                  sin((t − |x|)R) sin((t + |x|)R)
                    lim                           −                         =
        2π     |x| R→∞                (t − |x|)       (t + |x|)
        1
            δ(|x| − t).
      4π|x|
Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî

Óòâåðæäåíèå 6.3.3. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.86) åñòü ôóíêöèÿ
                                            1
                         E(x , t) =             δ(|x| − t) , x ∈ R3 .           (6.87)
                                          4π|x|

Âîëíîâîå óðàâíåíèå â ðàçìåðíîñòè 1+2.
Íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
            2      
             ∂
                − ∆x E(x , t) = δ(t)δ(x) , t ∈ R1 , x ∈ R2 .                    (6.88)
            ∂t2

Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (6.87) ê îñíîâíîé ôóíêöèè âèäà

          φ(x1 , x2 , x3 , t) = ψ(x1 , x2 , t)κ(x3 , 0 , R , 1) , R → ∞,

                                               441

Страницы