Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 455 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ξ
2
b
E(ξ) = 1 , ∀(d ≥ 3) : E(x) = F
−1
(|ξ|
−2
)(x) =
F
−1
(
∞
Z
0
exp(−tξ
2
)dt)(x) =
∞
Z
0
F
−1
(exp(−tξ
2
)(x)dt =
∞
Z
0
(4πt)
−d/2
exp(−|x|
2
/4t)dt =
1
4
1
π
d/2
1
|x|
d−2
Γ(d/2 − 1),
d = 2 : E(x) − E(y) =
∞
Z
0
1
4π
(exp(−|x|
2
/4t) − exp(−|y|
2
/4t))dt =
−
1
2π
(ln |x| − ln |y|).
L
2
(R
d
, dξ)
b
T (t) : ψ(ξ) 7→ exp(−ξ
2
t)ψ(ξ)
C
0
F
(2π)
−d
L
2
(R
d
, dx) L
2
(R
d
, dξ)
T (t) := F
−1
b
T (t)F
L
2
(R
d
, dx) C
0
L
2
(R
d
, dx) T (t)
T (t)ψ(x) =
Z
G(t , x , y)ψ(y)dy,
G(t , x , y) = (4πt)
−d/2
exp(−(x − y)
2
/4t).
T (t) L
2
(R
d
, dx)
∆
x
= F
−1
(−ξ
2
)F.
g(x , y) (−∆
x
)
−1
Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ôîìàëüíûå âûêëàäêè, àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûå äå-
ëàþòñÿ â àíàëîãè÷íûõ ñëó÷àÿõ ôèçèêàìè. Èìååì:

     ξ 2 E(ξ)
         b    = 1 , ∀(d ≥ 3) : E(x) = F −1 (|ξ|−2 )(x) =
           Z∞                    Z∞
     F ( exp(−tξ )dt)(x) = F −1 (exp(−tξ 2 )(x)dt =
        −1            2

          0                         0
     Z∞                               d/2  d−2
             −d/2         2         1 1       1
       (4πt)      exp(−|x| /4t)dt =                Γ(d/2 − 1),
                                    4 π      |x|
     0
                               Z∞
                                     1
     d = 2 : E(x) − E(y) =             (exp(−|x|2 /4t) − exp(−|y|2 /4t))dt =
                                    4π
                               0
        1
     −    (ln |x| − ln |y|).
       2π
Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ýòèõ âûêëàäîê èñïîëüçóåì òåîðèþ ïîëóãðóïï.
  Â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd , dξ) ôóíêöèÿ

                         Tb(t) : ψ(ξ) 7→ exp(−ξ 2 t)ψ(ξ)                   (6.94)

åñòü ïîëóãðóïïà êëàññà C0 (ïðîâåðêó ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìû îñòàâëÿåì
÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ). Òàê êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå F åñòü
âçàèìíî îäíîçíà÷íîå óíèòàðíîå (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ (2π)−d ) ïðå-
îáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà L2 (Rd , dx) â ïðîñòðàíñòâî L2 (Rd , dξ), ôóíê-
öèÿ
                          T (t) := F −1 Tb(t)F                     (6.95)
â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd , dx) åñòü ïîëóãðóïïà êëàññà C0 . Â ïðîñòðàíñòâå
L2 (Rd , dx) îïåðàòîð T (t) åñòü èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð
                               Z
                 T (t)ψ(x) =        G(t , x , y)ψ(y)dy,                    (6.96)

                 G(t , x , y) = (4πt)−d/2 exp(−(x − y)2 /4t).              (6.97)

Èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû T (t) â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd , dx)
åñòü îïåðàòîð Ëàïëàñà:

                               ∆x = F −1 (−ξ 2 )F.

Ïóñòü g(x , y) -èíòåãðàëüíîå ÿäðî îïåðàòîðà (−∆x )−1 . Èç ôîðìóëû (3.10.8)

                                        443

Страницы