Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 456 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

g(x , y) =
∞
Z
0
(4πt)
−d/2
exp(−(x − y)
2
/4t)dt =
1
4
1
π
d/2
1
|x − y|
d−2
Γ(d/2 − 1) , d ≥ 3.
d = 2
g(x , y) − g(x , z) =
1
4π
lim
λ→+0
∞
Z
0
exp(−λt)
exp(−(x − y)
2
/4t) − exp(−(x − z)
2
/4t)
t
dt =
1
2π
(ln |x − z| − ln |x − y|) , x , y , z ∈ R
2
.
E(x) =
1
4
1
π
d/2
1
|x|
d−2
Γ(d/2 − 1) , d ≥ 3,
−
1
2π
ln |x|, d = 2.
∀(φ ∈ S(R
d
)) : F (φ)(ξ) =
Z
exp(−i(x , ξ))φ(x)dx,
∀(φ ∈ S(R
d
)) : φ(x) = (2π)
−d
Z
exp(i(x , ξ))F (φ)(ξ)dξ,
∀(φ ∈ S(R
d
)) :
Z
|φ(x)|
2
dx = (2π)
−d
Z
|F (φ)(ξ)|
2
dξ.
è (6.96) ñëåäóåò, ÷òî
                          Z∞
                g(x , y) = (4πt)−d/2 exp(−(x − y)2 /4t)dt =
                             0
                   d/2          d−2
                 1 1          1
                                        Γ(d/2 − 1) , d ≥ 3.           (6.98)
                 4 π       |x − y|

Ïðè d = 2 íåîáõîäèìà ðåãóëÿðèçàöèÿ èíòåãðàëà:

   g(x , y) − g(x , z) =
            Z∞
                           exp(−(x − y)2 /4t) − exp(−(x − z)2 /4t)
                                                                  
    1
        lim    exp(−λt)                                              dt =
   4π λ→+0                                    t
            0
    1
      (ln |x − z| − ln |x − y|) , x , y , z ∈ R2 .                    (6.99)
   2π
Ìû äîêàçàëè

Óòâåðæäåíèå 6.3.6. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.93) äàåòñÿ ôîðìóëîé
                    
                    1      1 d−2
                        1 d/2
                                       Γ(d/2     − 1) , d ≥ 3,
          E(x) =     4 π        |x|                                  (6.100)
                    − 1 ln |x| , d = 2.
                       2π



6.4     Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà.

6.4.1    Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå-Ïëàíøåðåëÿ.

Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà
Øâàðöà:
                                 Z
                 d
        ∀(φ ∈ S(R )) : F (φ)(ξ) = exp(−i(x , ξ))φ(x)dx,    (6.101)

ôîðìóëó îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:
                                   Z
              d
     ∀(φ ∈ S(R )) : φ(x) = (2π) −d
                                     exp(i(x , ξ))F (φ)(ξ)dξ,        (6.102)

è ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ:
                      Z                    Z
                d
       ∀(φ ∈ S(R )) :         2
                        |φ(x)| dx = (2π)−d
                                             |F (φ)(ξ)|2 dξ.         (6.103)

                                        444

Страницы