Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 458 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ ∈ L
2
(R
d
, dx)
b
φ ∈ L
2
(R
d
, dξ)
b
φ ∈
L
2
(R
d
, dξ) φ ∈ L
2
(R
d
, dx)
b
φ(ξ) := lim
n→∞
b
φ
n
(ξ),
{φ
n
}
L
2
(R
d
, dx) L
2
(R
d
, dx)
R
d
f(x)
f ∈ L
loc
(R
d
),
K ⊂ R
d
f ∈ L
1
(K).
f ∈ S(R
d
)
?
H
s
(R
d
)
f
∃(
b
f(ξ) ∈ L
loc
(R
d
)) , ∀(φ ∈ S(R
d
)) :
F (f)(φ) = f(F (φ)) =
Z
b
f(ξ)φ(ξ)dξ.
kf | H
s
(R
d
)k
2
=
Z
|
b
f(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ < ∞.
f f(x) ∈ S(R
d
)
b
f(ξ) f(x)
Îïðåäåëåíèå 6.4.1. Åñëè ôóíêöèè φ ∈ L (R        , dx) è φb ∈ L2 (Rd , dξ)
                                                 2     d

ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìè (6.105)-(6.106), òî ìû ãîâîðèì, ÷òî ôóíêöèÿ φb ∈
L2 (Rd , dξ) åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå-Ïëàíøåðåëÿ ôóíêöèè φ ∈ L2 (Rd , dx):

                             φ(ξ)
                             b := lim φbn (ξ),                        (6.107)
                                      n→∞

ãäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {φn } óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (6.105).

   ßñíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå-Ïëàíøåðåëÿ îïðåäåëåíî íà âñåì ïðî-
ñòðàíñòâå L2 (Rd , dx), îíî ïðåîáðàçóåò ïðîñòðàíñòâî L2 (Rd , dx) â ñåáÿ,
äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâà (ñîîòâåòñòâåííî îáîáùåííàÿ) ôîðìóëà îáðàùåíèÿ
è ôîðìóëà Ïàðñåâàëÿ.  äàëüíåøåì ìû íå áóäåì äåëàòü ðàçëè÷èÿ ìåæ-
äó çàäàííûì ôîðìóëîé (6.101) ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå è îïðåäåëåííûì
ôîðìóëîé (6.107) ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå-Ïëàíøåðåëÿ.


6.4.2    Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâ

         Ñîáîëåâà.

Íàïîìíèì, ÷òî çàäàííàÿ â Rd ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî èíòå-
ãðèðóåìîé:
                           f ∈ Lloc (Rd ),
åñëè äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K ⊂ Rd ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå:

                                 f ∈ L1 (K).

Îïðåäåëåíèå 6.4.2. Ðàñïðåäåëåíèå f ∈ S(R )       d ?
                                                       ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàí-
ñòâó Ñîáîëåâà H (R ), åñëè
                s    d

   1. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ f çàäàåòñÿ ëîêàëüíî èíòå-
ãðèðóåìîé ôóíêöèåé:

                    ∃(fb(ξ) ∈ Lloc (Rd )) , ∀(φ ∈ S(Rd )) :
                                              Z
                    F (f )(φ) = f (F (φ)) = fb(ξ)φ(ξ)dξ.              (6.108)

   2. Çàäàþùàÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
                              Z
                      d 2 def
                   s
             kf | H (R )k =     |fb(ξ)|2 (1 + |ξ|2 )s dξ < ∞. (6.109)

   Åñëè ðàñïðåäåëåíèå f çàäàåòñÿ ôóíêöèåé f (x) ∈ S(Rd ), òî âõîäÿùàÿ
â (6.108) ôóíêöèÿ fb(ξ) åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f (x), íî â

                                     446

Страницы