Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 460 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
s
(R
d
)
< f , g >=
Z
b
f(ξ)
∗
bg(ξ)(1 + |ξ|
2
)
s
dξ.
f(x) ∈ S(R
d
) H
s
(R
d
)
H
s
(R
d
)
b
f(ξ) ∈ L
2
(R
d
, (1 + |ξ|
2
)
s
dξ)
f ∈ S(R
d
)
?
f ∈ H
s
(R
d
)
f(φ) =
Z
b
f(ξ)F
−1
(φ)(ξ)dξ,
∀(f ∈ H
s
(R
d
) , φ ∈ S(R
d
)) : |f(φ)| ≤
Z
|
b
f(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ
1/2
Z
|F
−1
(φ)(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
−s
dξ
1/2
→ 0 , φ
S
→ 0.
b
f(ξ) ∈ L
2
(R
d
, (1 + |ξ|
2
)
s
dξ)
S(R
d
)
H
s
(R
d
) S(R
d
)
?
b
f(ξ) ∈ L
2
(R
d
, (1 + |ξ|
2
)
s
dξ) f
n
∈ S(R
d
)
kf
n
− f | L
2
(R
d
, (1 + |ξ|
2
)
s
dξ)k → 0.
F (f
n
)(φ) =
Z
b
f
n
(ξ)φ(ξ)dξ →
Z
b
f(ξ)φ(ξ)dξ,
lim
n→∞
F (f
n
)(φ) = F ( lim
n→∞
f
n
)(φ),
b
f(ξ) lim
n→∞
f
n
Òåîðåìà 6.4.1. 1. Ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà H (R ) åñòü ãèëüáåðòîâî
                                                            s   d

ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
                                    Z
                     < f , g >=         fb(ξ)∗ gb(ξ)(1 + |ξ|2 )s dξ.           (6.110)

2. Ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìûå ôóíêöèÿìè              f (x) ∈ S(Rd ), ïëîòíû â H s (Rd )
ïî ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà         H s (Rd ).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ íàì äî-
ñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ fb(ξ) ∈ L2 (Rd , (1 + |ξ|2 )s dξ) åñòü
ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ èç f ∈ S(Rd )? . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
ýòîãî óòâåðæäåíèÿ çàìåòèì, ÷òî, êàê ñëåäóåò èç (6.108), ðàñïðåäåëåíèå
f ∈ H s (Rd ) äåéñòâóåò íà îñíîâíóþ ôóíêöèþ ïî ïðàâèëó:
                                Z
                         f (φ) = fb(ξ)F −1 (φ)(ξ)dξ,                 (6.111)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

        ∀(f ∈ H s (Rd ) , φ ∈ S(Rd )) : |f (φ)| ≤
        Z                        1/2 Z                             1/2
                   2         2 s               −1      2        2 −s
            |f (ξ)| (1 + |ξ| ) dξ
             b                               |F (φ)(ξ)| (1 + |ξ| ) dξ
                 S
        → 0 , φ → 0.                                                           (6.112)

Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóþò äâà óòâåðæäåíèÿ: âî-ïåðâûõ, ÷òî êàæäàÿ
ôóíêöèÿ fb(ξ) ∈ L2 (Rd , (1 + |ξ|2 )s dξ) çàäàåò ïî ïðàâèëó (6.111) ëèíåé-
íûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå S(Rd ), âî-âòîðûõ, ÷òî
èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèé â ìåòðèêå ïðîñòðàí-
ñòâà H s (Rd ) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü â òîïîëîãèè ïðîñòðàíñòâà S(Rd )? .
   Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû.
   Ïóñòü fb(ξ) ∈ L2 (Rd , (1 + |ξ|2 )s dξ) è fn ∈ S(Rd ) òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü, ÷òî
                    kfn − f | L2 (Rd , (1 + |ξ|2 )s dξ)k → 0.
Òîãäà                           Z                     Z
                 F (fn )(φ) =       fbn (ξ)φ(ξ)dξ →       fb(ξ)φ(ξ)dξ,

à òàê êàê â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå

                         lim F (fn )(φ) = F ( lim fn )(φ),
                        n→∞                      n→∞


òî ôóíêöèÿ fb(ξ) åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ lim fn .
                                                                         n→∞


                                          448

Страницы