Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 462 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n = 0
kφ |
e
H
0 , α
(R
d
)k
2
=
Z
|φ(x)|
2
dx +
ZZ
|x − y|
−(d+2α)
|φ(x) − φ(y)|
2
dxdy =
Z
|φ(x)|
2
dx +
ZZ
|y|
−(d+2α)
|φ(x + y) − φ(x)|
2
dxdy =
(2π)
−d
Z
|
b
φ(ξ)|
2
dξ +
Z
Z
|exp(i(ξ , y)) − 1|
2
|y|
−(d+2α)
dy
|
b
φ(ξ)|
2
dξ
=
(2π)
−d
Z
|
b
φ(ξ)|
2
dξ + C
0
(d)
Z
|ξ|
2α
|
b
φ(ξ)|
2
dξ
.
∃(C
1
, C
2
) : C
1
(1 + |ξ|
2
)
α
≤ (1 + |ξ|
2α
) ≤ C
2
(1 + |ξ|
2
)
α
,
n =
0
φ(x) → D
m
x
φ(x),
F (D
m
x
φ(x))(ξ) = ξ
m
F (φ(x))(ξ),
∃(C
1
, C
2
) : C
1
(1 + |ξ|
2
)
k
≤ 1 +
X
|m|≤k
(ξ
m
)
2
≤ C
2
(1 + |ξ|
2
)
k
.
φ(x) ∈ H
s
(R
d
) , s ≥ 0 x 7→ y(x)
R
d
7→ R
d
y(x) ≡ x , |x| ≥ R
0
, R
0
<
∞ x 7→ φ(y(x)) H
s
(R
d
)
H
s
(R
d
) H
−s
(R
d
)
B
H
(f , g)
H
s
(R
d
) × H
−s
(R
d
) 3 f × g 7→ B
H
(f , g) =
Z
b
f(ξ)bg(ξ)dξ.
f × g ∈ H
s
(R
d
) × H
−s
(R
d
)
kf | H
s
(R
d
)k = sup{|B
H
(f , g)| | kg | H
−s
(R
d
)k ≤ 1}.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì òåîðåìó äëÿ n = 0. Èìååì:

kφ | He 0 , α (Rd )k2 =
Z                   ZZ
            2
   |φ(x)| dx +          |x − y|−(d+2α) |φ(x) − φ(y)|2 dxdy =
Z                   ZZ
            2
   |φ(x)| dx +          |y|−(d+2α) |φ(x + y) − φ(x)|2 dxdy =
        Z                  Z Z                                               
     −d               2                                 2   −(d+2α)          2
(2π)           |φ(ξ)| dξ +
                 b                  | exp(i(ξ , y)) − 1| |y|        dy |φ(ξ)| dξ =
                                                                        b
        Z                         Z                 
     −d               2                  2α b     2
(2π)            |φ(ξ)| dξ + C0 (d) |ξ| |φ(ξ)| dξ .
                 b

Òàê êàê

               ∃(C1 , C2 ) : C1 (1 + |ξ|2 )α ≤ (1 + |ξ|2α ) ≤ C2 (1 + |ξ|2 )α ,

òî èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà âûòåêàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû äëÿ n =
0. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû â îáùåì ñëó÷àå çàìåíèì â ïîëó÷åííîì
ðàâåíñòâå
                          φ(x) → Dxm φ(x),
è ó÷òåì, ÷òî

          F (Dxm φ(x))(ξ) = ξ m F (φ(x))(ξ),
                                                   X
          ∃(C1 , C2 ) : C1 (1 + |ξ|2 )k ≤ 1 +              (ξ m )2 ≤ C2 (1 + |ξ|2 )k .
                                                   |m|≤k

Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå  6.4.1. Èç äîêàçàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè
φ(x) ∈ H (Rd ) , s ≥ 0 è ôóíêöèÿ x 7→ y(x) åñòü òàêîå ãëàäêîå íåâûðîæ-
           s

äåííîå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà Rd 7→ Rd , ÷òî y(x) ≡ x , |x| ≥ R0 , R0 <
∞, òî ôóíêöèÿ x 7→ φ(y(x)) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó H s (Rd ).
   Íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ H s (Rd ) è H −s (Rd ) îïðåäå-
ëèì áèëèíåéíóþ ôîðìó BH (f , g):
                                               Z
                                           def
      s  d     −s  d
     H (R ) × H (R ) 3 f × g 7→ BH (f , g) =     fb(ξ)b
                                                      g (ξ)dξ.    (6.116)

Òåîðåìà 6.4.3. 1. Áèëèíåéíàÿ ôîðìà (6.116) îïðåäåëåíà êîððåêòíî: èí-
òåãðàë â       (6.116) ñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ f × g ∈ H s (Rd ) × H −s (Rd ).
   2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

       kf | H s (Rd )k = sup{|BH (f , g)| | kg | H −s (Rd )k ≤ 1}.                       (6.117)

                                             450

Страницы