Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 463 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

l ∈ H
s
(R
d
)
?
g
l
∈ H
−s
(R
d
)
∀f ∈ H
s
(R
d
) : l(f) = B
H
(f , g
l
).
|
Z
b
f(ξ)bg(ξ)dξ|
2
≤
Z
|
b
f(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ
Z
|bg(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
−s
dξ.
kf | H
s
(R
d
)k =
sup{| <
Z
bg
0
(ξ)
∗
b
f(ξ)(1 + |ξ|
2
)
s
dξ| |
Z
|bg
0
(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ ≤ 1} =
sup{|
Z
b
f(ξ)bg(ξ)dξ| |
Z
|bg(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
−s
dξ ≤ 1}.
bg
0
(ξ) → bg(ξ)
∗
(1 + |ξ|
2
)
−s
.
∃(g
0
∈ H
s
(R
d
)) : l(f) =< g
0
, f >=
Z
bg
∗
0
(ξ)
b
f(ξ)(1 + |ξ|
2
)
s
dξ.
∀(f ∈ S(R
d
) , 0 < α < 1) : kf | C
n , α
0
(R
d
)k =
X
0≤|m|≤n
sup{|D
m
x
f(x)|x ∈ R
d
}+
X
|m|=n
sup{|D
m
x
f(x + y) − D
m
x
f(x)||y|
−α
| x ∈ R
d
, |y| ≤ 1}.
C
n , α
0
(R
d
)
S(R
d
)
3. Äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà                   l ∈ H s (Rd )?     ñóùåñòâóåò òàêîé
                   −s     d
ýëåìåíò     gl ∈ H (R ),      ÷òî

                          ∀f ∈ H s (Rd ) : l(f ) = BH (f , gl ).                       (6.118)

  Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Êîøè-
Áóíÿêîâñêîãî:
     Z                Z                     Z
    | fb(ξ)b        2         2        2 s
                                              g (ξ)|2 (1 + |ξ|2 )−s dξ.
            g (ξ)dξ| ≤ |fb(ξ)| (1 + |ξ| ) dξ |b

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ çàìåòèì, ÷òî

     kf | H s (Rd )k =
               Z                              Z
                        ∗b          2 s
     sup{| < gb0 (ξ) f (ξ)(1 + |ξ| ) dξ| | |b      g0 (ξ)|2 (1 + |ξ|2 )s dξ ≤ 1} =
           Z                  Z
     sup{| fb(ξ)b               g (ξ)|2 (1 + |ξ|2 )−s dξ ≤ 1}.
                    g (ξ)dξ| | |b

Ìû ñäåëàëè çàìåíó
                                 gb0 (ξ) → gb(ξ)∗ (1 + |ξ|2 )−s .                      (6.119)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåòüåãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû çàìåòèì, ÷òî â ñèëó
òåîðåìû Ðèññà
                                         Z
      ∃(g0 ∈ H (R )) : l(f ) =< g0 , f >= gb0∗ (ξ)fb(ξ)(1 + |ξ|2 )s dξ.
              s  d



Äàëåå ìû äåëàåì çàìåíó (6.119).
  Òåîðåìà äîêàçàíà.


6.4.3       Òåîðåìû âëîæåíèÿ.

Ïîëîæèì
                                                       def
                                                              X
∀(f ∈ S(Rd ) , 0 < α < 1) : kf | C0n , α (Rd )k =                      sup{|Dxm f (x)|x ∈ Rd }+
                                                             0≤|m|≤n
 X
        sup{|Dxm f (x   + y) −   Dxm f (x)||y|−α    | x ∈ Rd , |y| ≤ 1}.               (6.120)
|m|=n


Îïðåäåëåíèå 6.4.4. Ïðîñòðàíñòâî C                   n,α
                                                    0   (Rd )   -ýòî ïîïîëíåíèå ïðîñòðàí-
ñòâà S(R ) ïî íîðìå (6.120).
            d



                                              451

Страницы