Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 459 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

b
f(ξ)
H
s
(R
d
) s
−∞ < s < ∞.
R
d
f(x)
H
s
(R
d
)
f(x)
f : φ 7→
Z
f(x)φ(x)dx
H
s
(R
d
)
∀(s ≥ 0) : H
s
(R
d
) ⊂ L
2
(R
d
, dξ),
L
2
(R
d
)
H
s
(R
d
) s ≥ 0
L
2
(R
d
)
f = δ f
b
f(ξ) ≡ 1
Z
(1 + |ξ|
2
)
s
· 1dξ < ∞, s < −d/2.
δ(x) ∈ H
s
(R
d
) s < −d/2.
f(x) = θ(1 −|x|) , x ∈ R
1
f(x)
∞
Z
−∞
exp(−ixξ)θ(1 − |x|)dx = 2
sin ξ
ξ
.
Z
(1 + |ξ|
2
)
s
4
sin ξ
ξ
2
dξ < ∞ , s < 1/2.
θ(1 − |x|) ∈ H
s
(R
1
) s < 1/2.
îáùåì ñëó÷àå â îïðåäåëåíèè íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ôóíêöèÿ fb(ξ) îáÿçà-
òåëüíî áûëà áû ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå íåêîòîðîé ôóíêöèè.
   Âõîäÿùé â îïðåäåëíèå ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà H s (Rd ) ïàðàìåòð s ìî-
æåò ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå:

                                       −∞ < s < ∞.

Îïðåäåëåíèå 6.4.3. Çàäàííàÿ â ïðîñòðàíñòâå R    ôóíêöèÿ f (x) ïðè-d

íàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Ñîáîëåâà H (R ), åñëè ïîðîæäåííîå ôóíêöèåé
                                                    s   d

f (x) ðàñïðåäåëåíèå          Z
                                f : φ 7→            f (x)φ(x)dx

ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Ñîáîëåâà H s (Rd ).

   ßñíî, ÷òî
                         ∀(s ≥ 0) : H s (Rd ) ⊂ L2 (Rd , dξ),
à òàê êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò ïðîñòðàíñòâî L2 (Rd ) â ñåáÿ,
ïðîñòðàíñòâî H s (Rd ) ïðè s ≥ 0 ìîæåò áûòü îòîæäåñòâëåíî ñ ïîäïðî-
ñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà L2 (Rd ).
   Ïðèâåäåì ïðèìåðû.
   1. Ïóñòü f = δ -ôóíêöèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ f çà-
äàåòñÿ ôóíêöèåé fb(ξ) ≡ 1. Èìååì:
                    Z
                        (1 + |ξ|2 )s · 1dξ < ∞ , åñëè s < −d/2.

Ñëåäîâàòåëüíî,
                             δ(x) ∈ H s (Rd ) ïðè s < −d/2.
2. Ïóñòü f (x) = θ(1 − |x|) , x ∈ R1 . Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f (x)
åñòü ôóíêöèÿ
                     Z∞
                                                  sin ξ
                        exp(−ixξ)θ(1 − |x|)dx = 2       .
                                                    ξ
                        −∞

Èìååì:         Z                              2
                                       sin ξ
                             2 s
                   (1 + |ξ| ) 4                     dξ < ∞ , åñëè s < 1/2.
                                         ξ
Ñëåäîâàòåëüíî,
                         θ(1 − |x|) ∈ H s (R1 ) ïðè s < 1/2.

                                                447

Страницы