Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 457 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R
d
b
φ(ξ) := F (φ)(ξ).
φ
L
2
(R
d
, dx)
S(R
d
) L
2
(R
d
, dx)
L
2
(R
d
, dx)
Cl(S(R
d
)) = L
2
(R
d
, dx).
L
2
(R
d
, dx) = Cl(S(R
d
)) ⊕ H
0
.
H
0
= 0.
f
0
∈ H
0
f
0
S(R
d
)
f
0
f
0
K ⊂ R
d
∀K :
Z
K
f
0
(x)dx = 0.
f
0
φ ∈ L
2
(R
d
, dx)
φ
n
∈ S(R
d
)
kφ − φ
n
| L
2
(R
d
, dx)k → 0 , n → ∞.
{φ
n
}
L
2
(R
d
, dx)
{
b
φ
n
} L
2
(R
d
, dξ)
∃
b
φ(ξ) : k
b
φ −
c
φ
n
| L
2
(R
d
, dξ)k → 0 , n → ∞.
Èíòåãðèðîâàíèå âåçäå âåäåòñÿ ïî ïðîñòðàíñòâó Rd .
   Â äàëüíåøåì íàì áóäåò óäîáíî èñïîëüçîâàòü ââåäåííîå ðàíåå îáîçíà-
÷åíèå
                          φ(ξ)
                          b := F (φ)(ξ).                      (6.104)
ßñíî, ÷òî ôîðìóëîé (6.101) ìîæíî îïðåäåëèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
òîëüêî äëÿ òåõ ôóíêöèé φ, äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàë â (6.101) ñõîäèòñÿ.
Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàñïðîñòðàíèòü îïðåäåëå-
íèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íà âñå ôóíêöèè èç L2 (Rd , dx).

Ëåììà 6.4.1. Ïðîñòðàíñòâî Øâàðöà S(R ) ïëîòíî â L (R
                             2   d
                                                          d            2   d
                                                                               , dx)   ïî
ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà    L (R , dx):

                        Cl(S(Rd )) = L2 (Rd , dx).

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                     L2 (Rd , dx) = Cl(S(Rd )) ⊕ H0 .

Äîêàæåì, ÷òî
                                         H0 = 0.
Åñëè f0 ∈ H0 , òî ôóíêöèÿ f0 îðòîãîíàëüíà ëþáîé ôóíêöèè èç S(Rd ).
 ÷àñòíîñòè, ôóíêöèÿ f0 îðòîãîíàëüíà ëþáîé ôóíêöèè òèïà ãðèá, ïî-
ýòîìó ôóíêöèÿ f0 îðòîãîíàëüíà õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ëþáîãî
ïàðàëëåëëèïèïåäà K ⊂ Rd :
                             Z
                        ∀K :    f0 (x)dx = 0.
                                     K

Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f0 îðòîãîíàëüíà ëþáîé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè
è ïîýòîìó ðàâíà íóëþ ïî÷òè âñþäó. Ëåììà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 6.4.1. Åñëè φ ∈ L (R
                         d
                                     2     d
                                               , dx),   òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü   φn ∈ S(R ),      ÷òî

                  kφ − φn | L2 (Rd , dx)k → 0 , n → ∞.                          (6.105)

   Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {φn } óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (6.105), òî îíà
ôóíäàìåòàëüíà â L2 (Rd , dx). Èç ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ ñëåäóåò, ÷òî ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå {φbn } ôóäàìåíòàëüíà â L2 (Rd , dξ).
Ñëåäîâàòåëüíî,

               ∃φ(ξ)      cn | L2 (Rd , dξ)k → 0 , n → ∞.
                b : kφb − φ                                                     (6.106)

                                          445

Страницы