Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 454 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

κ(x
3
, 0 , R , 1)
E(x , t) =
θ(t)
4π
∞
Z
−∞
δ(
√
x
2
+ z
2
− t)
√
x
2
+ z
2
dz =
θ(t)
2π
∞
Z
|x|
δ(ξ − t)
p
ξ
2
− x
2
dξ =
θ(t −|x|)
2π
p
t
2
− |x|
2
, x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
.
E(x , t) =
θ(t −|x|)
2π
p
t
2
− |x|
2
, x ∈ R
2
.
∂
∂t
− ∆
x
E(x , t) = δ(t)δ(x) , t ∈ R
1
, x ∈ R
d
.
x
d
b
E(ξ , t)
dt
+ ξ
2
b
E(ξ , t) = δ(t),
b
E(ξ , t) = θ(t) exp(−ξ
2
t).
E(x , t) = θ(t)(4πt)
−d/2
exp(−x
2
/4t).
(−∆
x
)E(x) = δ(x) , x ∈ R
d
, d ≥ 2.
ãäå ôóíêöèÿ κ(x3 , 0 , R , 1) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (6.18), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ åñòü ôóíêöèÿ

                              Z∞     √
                    θ(t)           δ( x2 + z 2 − t)
         E(x , t) =                   √             dz =
                     4π                 x2 + z 2
                             −∞
                Z∞
         θ(t)         δ(ξ − t)        θ(t − |x|)
                      p         dξ = p             , x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .
          2π             2
                       ξ −x   2           2
                                    2π t − |x|   2
                |x|


Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî

Óòâåðæäåíèå 6.3.4. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.88) åñòü ôóíêöèÿ
                                         θ(t − |x|)
                          E(x , t) =      p         , x ∈ R2 .               (6.89)
                                       2π t2 − |x|2

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè.
Íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                   
             ∂
                − ∆x E(x , t) = δ(t)δ(x) , t ∈ R1 , x ∈ Rd .                 (6.90)
             ∂t

Ñîâåðøàÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî x, ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

                            dE(ξ
                             b , t)
                                    + ξ 2 E(ξ
                                          b , t) = δ(t),
                              dt

                              b , t) = θ(t) exp(−ξ 2 t).
                              E(ξ                                            (6.91)
Ñîâåðøàÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ìû ïîëó÷àåì

Óòâåðæäåíèå 6.3.5. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.90) åñòü ôóíêöèÿ
                        E(x , t) = θ(t)(4πt)−d/2 exp(−x2 /4t).               (6.92)

Óðàâíåíèå Ëàïëàñà.
Íàì íóæíî íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                         (−∆x )E(x) = δ(x) , x ∈ Rd , d ≥ 2.                 (6.93)

                                           442

Страницы