Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 452 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∂
2
∂t
2
−
∂
2
∂x
2
E(x , t) = δ(t)δ(x).
x
f(x)
b
f(ξ)
d
2
b
E(ξ , t)
dt
2
+ ξ
2
b
E(ξ , t) = δ(t).
b
E(ξ , t) = θ(t)
sin(ξt)
ξ
, ξ ∈ R
1
.
E(x , t) =
θ(t)
2π
∞
Z
−∞
exp(iξx)
sin(ξt)
ξ
dξ.
∞
Z
−∞
exp(−i(ξ , x))θ(a −|x|)dx = 2
sin(aξ)
ξ
,
F
−1
sin(ξt)
ξ
=
1
2
θ(t − |x|).
E(x , t) =
1
2
θ(t − |x|).
∂
2
∂t
2
− ∆
x
E(x , t) = δ(t)δ(x) , t ∈ R
1
, x ∈ R
3
.
Âîëíîâîå óðàâíåíèå â ðàçìåðíîñòè 1+1.
Íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                  2
                         ∂2
                            
                   ∂
                      −       E(x , t) = δ(t)δ(x).                         (6.84)
                   ∂t2 ∂x2

Áåðÿ îò (6.84) ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé x (ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå ôóíêöèè f (x) ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì fb(ξ)), ìû ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå
                     d2 E(ξ
                        b , t)
                               + ξ 2 E(ξ
                                     b , t) = δ(t).
                         dt2
Èç ôîðìóëû (6.84) ñëåäóåò, ÷òî

                        b , t) = θ(t) sin(ξt) , ξ ∈ R1 .
                        E(ξ
                                         ξ
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                          Z∞
                             θ(t)                          sin(ξt)
                  E(x , t) =                    exp(iξx)           dξ.
                              2π                              ξ
                                         −∞

Ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî èíòåãðàëà ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî
                 Z∞
                                                               sin(aξ)
                      exp(−i(ξ , x))θ(a − |x|)dx = 2                   ,
                                                                  ξ
                 −∞

ïîýòîìó                                       
                            −1       sin(ξt)        1
                        F                          = θ(t − |x|).
                                        ξ           2
Ìû ïîëó÷àåì

Óòâåðæäåíèå 6.3.2. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.84) äàåòñÿ ôîðìóëîé
                                       1
                             E(x , t) = θ(t − |x|).                        (6.85)
                                       2

Âîëíîâîå óðàâíåíèå â ðàçìåðíîñòè 1+3.
Íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
            2      
             ∂
                − ∆x E(x , t) = δ(t)δ(x) , t ∈ R1 , x ∈ R3 .               (6.86)
            ∂t2

                                               440

Страницы