Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 450 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

E := l · ,
l
φ(x) = φ(−x).
∀(φ ∈ D) : P (D)E(φ) = E(P (−D)φ) = l( P (−D)φ) =
l(P (D) φ) = φ(0) = φ(0) = δ(φ).
D
0
N
P
= {z | z ∈ C
d
, P (z) = 0}
µ(dz)
N
P
µ(dz) ⊂ N
P
.
w(x) =
Z
exp(−i(x , z))µ(dz).
w(x)
P (D)w = 0.
E E
w
w(x) E +E
w
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî òàêèì ôóäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì ÿâ-
ëÿåòñÿ ôóíêöèîíàë
                            E := l · inv,                  (6.79)

ãäå l -ôóíêöèîíàë, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî ãàðàíòèðîâàíî ëåììîé 6.3.8
è inv îïåðàòîð èíâåðñèè:

                          invφ(x) = φ(−x).

Èìååì

        ∀(φ ∈ D) : P (D)E(φ) = E(P (−D)φ) = l(invP (−D)φ) =
                   l(P (D)invφ) = invφ(0) = φ(0) = δ(φ).

Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Â ïðîñòðàíñòâå D0 ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå íå åäèíñòâåííî. Ïóñòü

                    NP = {z | z ∈ Cd , P (z) = 0}

Ïóñòü µ(dz) -ìåðà ñ êîìïàêíûì íîñèòåëåì, êîòîðàÿ ñîñðåäîòî÷åíà íà
ìíîãîîáðàçèè NP :
                         suppµ(dz) ⊂ NP .

Ïîëîæèì                      Z
                    w(x) =        exp(−i(x , z))µ(dz).

Ôóíêöèÿ w(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

                                 P (D)w = 0.

Ïóñòü E -ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå è Ew -ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå ïî-
ðîæäåíî ôóíêöèåé w(x). Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå E +Ew -ôóíäàìåíòàëüíîå
ðåøåíèå.


6.3.2   Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøå-

        íèé.

Ôðàçó ôóíêöèÿ çàäàåò ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå åñòü ôóíäàìåíòàëüíîå
ðåøåíèå ìû áóäåì ñîêðàùàòü äî ôðàçû ôóíêöèÿ åñòü ôóíäàìåíòàëü-
íîå ðåøåíèå. Ê íåäîðàçóìåíèÿì ýòî ïðèâåñòè íå ìîæåò.

                                     438

Страницы