Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 448 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L(P )
∀(φ ∈ D) : l
0
(P (D)φ) = φ(0),
L(P )
∀(ψ ∈ L(P )) : |l
0
(ψ)| ≤ C(P )kψ | B(D)k,
C(P ) P
P (D)φ
1
≡ P (D)φ
2
, φ
j
∈ D
φ
1
≡ φ
2
.
∀(z ∈ C
d
) : P (z)F (φ
1
)(z) ≡ P (z)F (φ
2
)(z).
D
F (φ
1
)(z) ≡ F (φ
2
)(z),
ψ = P (D)φ , φ ∈ D.
l
0
(ψ) = l(P (D)φ) = φ(0),
φ(0) = (2π)
−d
Z
R
d
F (φ)(ξ)dξ,
|l
0
(ψ)| ≤
Z
R
d
|F (φ)(ξ)|dξ.
Ëåììà 6.3.7. Íà ëèíåéíîì ìíîãîîáðàçèè L(P ) êîððåêòíî îïðåäåëåí ëè-
íåéíûé ôóíêöèîíàë

                          ∀(φ ∈ D) : l0 (P (D)φ) = φ(0),                          (6.74)

è ýòîò ôóíêöèîíàë íà ìíîãîîáðàçèè                  L(P )   óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå

                   ∀(ψ ∈ L(P )) : |l0 (ψ)| ≤ C(P )kψ | B(D)k,                     (6.75)

ãäå   C(P )   -êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ òîëêî îò ïîëèíîìà               P.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèîíàë (6.74)
îïðåäåëåí êîððåêòíî, íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî èç

                           P (D)φ1 ≡ P (D)φ2 , φj ∈ D                             (6.76)

ñëåäóåò, ÷òî
                                        φ1 ≡ φ2 .                                 (6.77)
Âîçüìåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà (6.76) è ðàñ-
ñìîòðèì ýòî ïðåîáðàçîâàíèå â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïîëó÷èì:

                   ∀(z ∈ Cd ) : P (z)F (φ1 )(z) ≡ P (z)F (φ2 )(z).

Òàê êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà D åñòü öåëàÿ
ôóíêöèÿ, òî èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî

                              F (φ1 )(z) ≡ F (φ2 )(z),

à îòñþäà ñëåäóåò (6.77).
   Òåïåðü äîêàæåì îöåíêó (6.75). Ïóñòü

                               ψ = P (D)φ , φ ∈ D.

Èìååì:

                           l0 (ψ) = l(P (D)φ) = φ(0),
                                           Z
                                        −d
                           φ(0) = (2π)       F (φ)(ξ)dξ,
                                              Rd
                                        Z
                           |l0 (ψ)| ≤        |F (φ)(ξ)|dξ.
                                        Rd


                                             436

Страницы