Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 445 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Q(λ) = c
Y
1≤j≤n
(λ − a
j
).
Q
0
(λ) = c
Y
1≤j≤n
(1 − a
∗
j
λ)
T = {θ | θ = (θ
1
, . . . θ
d
) ∈ R
d
, 0 ≤ θ
j
< 2π},
c(θ) =
X
|m|=N
a(m) exp(i(θ , m)) , m ∈ Z
d
,
dθ = dθ
1
. . . dθ
d
.
Z
T
|c(θ)|dθ ≥
A(P )
C
0
(N , d)
,
C
0
(N , d) N d
|c(θ)| ≤
X
|m|=N
|a(m)| ≤ C
0
(N , d)A(P ),
C
0
(N , d) N d
C
0
(N , d) = C
N
N+d+1
.
Z
T
|c(θ)|dθ = C
0
(N , d)A(P )
Z
T
|c(θ)|
C
0
(N , d)A(P )
dθ ≥
C
0
(N , d)A(P )
Z
T
|c(θ)|
C
0
(N , d)A(P )
2
dθ > A(P )/C
0
(N , d).
P (z) =
X
0≤|m|≤N
a(m)z
m
≡
X
0≤m≤N
a(m
1
, . . . m
d
)z
m
1
1
. . . z
m
d
d
.
      Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
                                                Y
                                 Q(λ) = c              (λ − aj ).
                                              1≤j≤n

Òîãäà ïîëèíîì                                   Y
                                Q0 (λ) = c             (1 − a∗j λ)
                                               1≤j≤n
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû.
   Ïîëîæèì
                    T = {θ | θ = (θ1 , . . . θd ) ∈ Rd , 0 ≤ θj < 2π},       (6.66)
                           X
                    c(θ) =      a(m) exp(i(θ , m)) , m ∈ Zd ,                (6.67)
                            |m|=N

                    dθ = dθ1 . . . dθd .
Ëåììà 6.3.3. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (6.62), òî
                                Z
                                                       A(P )
                                      |c(θ)|dθ ≥                ,            (6.68)
                                  T                  C0 (N , d)
ãäå   C0 (N , d)   -çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò            N    è   d   êîíñòàíòà.

      Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                            X
                   |c(θ)| ≤    |a(m)| ≤ C0 (N , d)A(P ),
                                 |m|=N

ãäå C0 (N , d) -÷èñëî ðàçìåùåíèé N íåðàçëè÷èìûõ ïðåäìåòîâ ïî d ÿùè-
êàì,
                           C0 (N , d) = CNN+d+1 .
      Îòñþäà ñëåäóò, ÷òî
                                                 |c(θ)|
          Z                            Z
            |c(θ)|dθ = C0 (N , d)A(P )                      dθ ≥
           T                              T C0 (N , d)A(P )
                          Z                   2
                                   |c(θ)|
          C0 (N , d)A(P )                         dθ > A(P )/C0 (N , d).
                           T  C0 (N , d)A(P )
Ëåììà äîêàçàíà.
   Äèôôåðåíöèàëüíîìó îïåðàòîðó (6.61) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ïîëè-
íîì
                          X
                 P (z) =       a(m)z m ≡
                                       0≤|m|≤N
                              X
                                      a(m1 , . . . md )z1m1 . . . zdmd .     (6.69)
                            0≤m≤N



                                               433

Страницы