Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 102 стр.

                                        102

для всех z ≠ 0 в G1.
      2. W (0) = 0 во всех граничных точках области G1, лежащих внутри G.
      Отметим особенности применения теоремы Ляпунова.
       1. Теорема Ляпунова не позволяет определить функцию Ляпунова, т.е.
чтобы этой теоремой воспользоваться, нужно сначала каким-либо образом задать
функцию V (z, t ) .
       2. Теорема Ляпунова дает достаточные, но не необходимые условия ус-
тойчивости, т.е. выполнение условий теоремы гарантирует устойчивость, но нет
гарантии, что выбор другого вида функции Ляпунова не изменяет область ус-
тойчивости в пространстве состояний.
      Рассмотрим применение второй теоремы Ляпунова для системы (3.26).
После введения новой переменной в соответствии с (3.27) получим (3.7). Введем
функцию Ляпунова равную энергетическому потенциалу системы.

                                          Jx12 Lx 22
                                 V (x ) =     +      .
                                           2    2
      Первое слагаемое пропорционально приращению кинетической энергии
системы, второе - энергии магнитного поля двигателя.
      Очевидно, что эта функция знакоопределенная, а точнее положительно
определенная. Найдем производную по времени от функции Ляпунова V.
                                      dV ∂V dx1 ∂V dx 2
                            W (x) =     =      +        .
                                      dt ∂x1 dt ∂x 2 dt

         Подставим сюда производные от x1 , x 2 из (3.27). После преобразований
найдем W (x) и потребуем, чтобы она была знакоотрицательной:

                           W (x) = (cm − ce ) x1 x2 − Rя x22 〈0,
так как cm = ce , то система будет устойчивой при Rя > 0.