Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

101
.222)(
332211
fcxfbxfaxW
d
t
dV
++==
x
Если производная будет знакоопределённой и отрицательной 0)(
〈
xW во
всех точках исследуемого пространства, кроме начала координат, то при любых
начальных отклонениях обобщенных координат, изображающая точка, в следст-
вии, отрицательности производной от функции Ляпунова, будет двигаться в сто-
рону уменьшении этой функции, т.е. будет пересекать эллипсоиды извне вовнутрь
. Следовательно с течением времени изображающая точка А достигнет начала
ко-
ординат (рис. 3.18).
Если производная будет не знакоопределенной, а знакопостоянной, то в
этом случае изображающая точка А касается поверхностей равного уровня и
может застрять на этой поверхности образуя предельный устойчивый цикл.
x
3
V(x)=C
1
A
•
x
1
V(x)=C
2
x
2
Рис. 3.18
По аналогии сформулируем теорему Ляпунова о неустойчивости нелиней-
ных систем.
Решение 0)( ≡
t
z уравнения (3.30) неустойчиво, если существует область G
1
, содержащаяся в некоторой окрестности G точки 0
=
z , и действительная функ-
ция )(
zW такая что
1. Функция )(
zW непрерывно дифференцируема в G
1
и
∑
=
>>
n
k
k
k
F
z
W
W
1
0,0)(
∂
∂
z , 
                                          101

                         dV
                            = W (x) = 2ax1 f 1 + 2bx 2 f 2 + 2cx3 f 3 .
                         dt
       Если производная будет знакоопределённой и отрицательной W (x)〈 0 во
всех точках исследуемого пространства, кроме начала координат, то при любых
начальных отклонениях обобщенных координат, изображающая точка, в следст-
вии, отрицательности производной от функции Ляпунова, будет двигаться в сто-
рону уменьшении этой функции, т.е. будет пересекать эллипсоиды извне вовнутрь
. Следовательно с течением времени изображающая точка А достигнет начала ко-
ординат (рис. 3.18).
      Если производная будет не знакоопределенной, а знакопостоянной, то в
этом случае изображающая точка А касается поверхностей равного уровня и
может застрять на этой поверхности образуя предельный устойчивый цикл.
                                                        x3
                         V(x)=C1                                        A•

                                                                        x1


                                                                 V(x)=C2
                        x2


                                          Рис. 3.18
      По аналогии сформулируем теорему Ляпунова о неустойчивости нелиней-
ных систем.
      Решение z (t ) ≡ 0 уравнения (3.30) неустойчиво, если существует область G1
, содержащаяся в некоторой окрестности G точки z = 0 , и действительная функ-
ция W (z ) такая что
      1. Функция W (z ) непрерывно дифференцируема в G1 и
                                                    n
                                                        ∂W
                                W (z ) > 0,     ∑=1 ∂z
                                                k
                                                             Fk > 0 ,
                                                         k

Страницы