Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

99
.)(
;функция аяопределенн ноотрицатель,0)(
функция; аяопределеннноположитель,0)(
0x
xx
xx
=
−∈<
−
∈
>
V
GV
GV
Функция )(
x
V
называется знакопостоянной, если она сохраняет один и
тот же знак во всей области пространства состояний и может обращаться в нуль
не только в начале координат.
.)(
;нкцияательнаяфузнакоотриц,0)(
нкция;ительнаяфузнакополож,0)(
0x
xx
xx
=
−∈≤
−
∈
≥
V
GV
GV
Примером таких функций могут являться:
Функция
2
3
2
2
2
1
)( xxxV ++=x - положительно определенная.
Функция )()(
2
3
2
2
2
1
xxxV ++−=x - отрицательно определенная.
Функция
2
2
2
1
)( xxV +=x - знакоположительная при n=3, т.е. ),,(
321
xxx=x .
Функция )()(
2
2
2
1
xxV +−=x - знакоотрицательная при n=3.
Пусть система описывается дифференциальными уравнениями вида.
)( tf
d
t
d
u,x,
x
= . (3.31)
Тогда каждое решение )()( tt
(1)
xx
=
при помощи замены )()()( ttt
(1)
xxz
−
=
можно преобразовать решение z
t
()
≡
0 новой системы
),(),()( tFtftf
d
t
d
uz,u,xu,,xz
z
(1)(1)
=−+= . (3.32)
При этом 0),,0( =
t
F u для всех
t
≥ 0
.
Функция
),,....,(),(
21
tzzzVtV
n
≡z называется функцией Ляпунова для сис-
темы (3.30), если:
1. ),(
t
V
z непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности G точки
0=
z в пространстве состояний ( , ,... )zz z
n12
при всех
t
≥ 0. 
                                                  99

      V (x) > 0, x ∈ G − положительно определенная функция;
      V (x) < 0, x ∈ G − отрицательно определенная функция;
      V (x) = 0.
       Функция V (x) называется знакопостоянной, если она сохраняет один и
тот же знак во всей области пространства состояний и может обращаться в нуль
не только в начале координат.
      V (x) ≥ 0, x ∈ G − знакоположительнаяфункция;
      V (x) ≤ 0, x ∈ G − знакоотрицательнаяфункция;
      V (x) = 0.
      Примером таких функций могут являться:
      Функция V (x) = x12 + x 22 + x 32 - положительно определенная.

      Функция V (x) = −( x12 + x 22 + x 32 ) - отрицательно определенная.

      Функция V (x) = x12 + x 22 - знакоположительная при n=3, т.е. x = ( x1 , x 2 , x 3 ) .

      Функция V (x) = −( x12 + x 22 ) - знакоотрицательная при n=3.
      Пусть система описывается дифференциальными уравнениями вида.
                                                       dx
                                                          = f (x, u, t ) .                    (3.31)
                                                       dt
      Тогда каждое решение x(t ) = x (1) (t ) при помощи замены z (t ) = x(t ) − x (1) (t )

можно преобразовать решение z (t ) ≡ 0 новой системы
                            dz
                               = f (z + x (1) , u, t ) − f (x (1) , u, t ) = F (z, u, t ) .   (3.32)
                            dt


      При этом F (0, u, t ) = 0 для всех t ≥ 0 .
      Функция V (z, t ) ≡ V ( z1 , z 2 ,....z n , t ) называется функцией Ляпунова для сис-
темы (3.30), если:
      1. V (z, t ) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности G точки
z = 0 в пространстве состояний ( z1 , z 2 , ... z n ) при всех t ≥ 0 .

Страницы