Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

100
2. ),0(
t
V
=0 при всех
t
≥ 0.
3. )(),(
zz W
t
V
≥ для всех точек z , принадлежащих G, и при всех
t
≥ 0, где
функция )(
zW такова, что )(zW >0 для всех 0
≠
z и W()00
=
.
4.
dV
dt
V
t
V
z
F
k
k
k
n
=+ ≤
=
∑
∂
∂
∂
∂
0
1
для всех
∈
z G и
t
≥ 0.
При таком определении функции Ляпунова теорема об устойчивости фор-
мулируется следующим образом.
Решении 0)( ≡
t
z устойчиво в смысле Ляпунова в том и только в том случае,
если существует соответствующая функция Ляпунова (теорема Ляпунова об ус-
тойчивости).
Решение асимптотически устойчиво в окрестности G. если существует
функция Ляпунова
V
z
t
(,), удовлетворяющая в G строгому неравенству
dV
d
t
< 0
для всех z ≠ 0 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).
Продемонстрируем справедливость этой теоремы на примере системы
третьего порядка.
dx
dt
fxxx
dx
dt
fxxx
dx
d
t
fxxx
1
112 3
2
2123
3
312 3
=
=
=
(, , );
(, , );
(, , ).
Возьмем знакоопределённую положительную функцию Ляпунова в виде:
2
3
2
2
2
1
)( cxbxaxV ++=x ,
abc,,- произвольные положительные числа
Очевидно, что поверхности равного уровня для функции Ляпунова
C
V
=)(x будут представлять собой эллипсоиды в пространстве состояний. Возь-
мем производную от функции Ляпунова: 
                                                 100

      2. V (0, t ) =0 при всех t ≥ 0 .
      3. V (z, t ) ≥ W (z ) для всех точек z , принадлежащих G, и при всех t ≥ 0 , где
функция W (z ) такова, что W (z ) >0 для всех z ≠ 0 и W(0) = 0 .
                   n
         dV ∂V        ∂V
      4.    =   +∑        F ≤ 0 для всех z ∈ G и t ≥ 0 .
         dt   ∂t k =1 ∂z k k
      При таком определении функции Ляпунова теорема об устойчивости фор-
мулируется следующим образом.
      Решении z (t ) ≡ 0 устойчиво в смысле Ляпунова в том и только в том случае,
если существует соответствующая функция Ляпунова (теорема Ляпунова об ус-
тойчивости).
      Решение асимптотически устойчиво в окрестности G. если существует
                                                                                     dV
функция Ляпунова V ( z , t ) , удовлетворяющая в G строгому неравенству                 <0
                                                                                     dt
для всех z ≠ 0 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).
      Продемонстрируем справедливость этой теоремы                        на примере системы
третьего порядка.
                                         dx1
                                              = f 1 ( x1 , x 2 , x 3 );
                                          dt
                                         dx 2
                                              = f 2 ( x1 , x 2 , x 3 );
                                          dt
                                         dx 3
                                              = f 3 ( x1 , x 2 , x 3 ).
                                          dt
      Возьмем знакоопределённую положительную функцию Ляпунова в виде:
                                         V (x) = ax12 + bx 22 + cx 32 ,
a , b , c - произвольные положительные числа
        Очевидно, что поверхности равного уровня для функции Ляпунова
V (x) = C будут представлять собой эллипсоиды в пространстве состояний. Возь-
мем производную от функции Ляпунова:

Страницы