Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 14 стр.

                                              14

где l - пространственная координата; m - число управляющих величин; n - число
управляемых величин.
     Ограничимся рассмотрением случая, когда L является волновым операто-
ром или оператором переноса, что соответствует исследованию динамических
процессов распространения возмущений и свободных движений. Кроме этого,
выбор такого оператора позволяет рассматривать достаточно широкий класс фи-
зических процессов теплопроводности, диффузии, переноса, газо-гидродинамики,
колебаний и сводится к решению смешанных задач математической физики для
уравнений гиперболического и параболического типа вида:
                  n
                              ∂ 2x         n        ∂ x
                 ∑ aij (l )            + ∑ bi ( l )
                                                    ∂
                                                         + c( l ) x = U ( l , t ) .   (1.4)
                i , j =1    ∂ li ∂ l j   i =1         li

     Рассмотрим основные физические процессы, сводящиеся к уравнению (1.4)
     1. Уравнения колебаний. Многие задачи механики (колебания струн, стерж-
ней, мембран, трехмерных объектов) и физики (электромагнитные колебания)
описываются уравнением колебаний :

                        ∂ 2x
                      ρ       − div ( pgradx ) + qx = U ( l , t ) .                   (1.5)
                        ∂ t 2


     Неизвестная функция x ( l , t ) (координата процесса), зависящая от n

(n=1,2,3) пространственных координат l1 , l2 , l3 и времени t , коэффициенты
ρ , p , q определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс,
свободный член U ( l , t ) выражает интенсивность внешнего возмущения. В урав-
нении (1.5) в соответствии с определением операторов div и grad

                                          n
                                              ∂ ⎛ ∂ x⎞
                      div ( pgradx ) = ∑          ⎜⎜ p     ⎟⎟ .                       (1.6)
                                       i =1 ∂  li  ⎝   ∂ li⎠

     Для однозначного описания процесса колебаний необходимо дополнитель-
но задать величину x ( l ,0) в начальный момент времени (начальные условия) и