Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 66 стр.

                                              66

     Конкретные значения первого собственного вектора определяются услови-
ем нормировки
                                      2      2
                                     t11 + t 21 = 1.

     Подставляя сюда, решение уравнений t11 = −6t 21 получим
                                     6                    1
                           t11 =             ; t 21 = −           .
                                      37                  37
     Аналогично найдем и второй собственный вектор
                                      2                   1
                             t12 =           ; t 21 = −       .
                                         5                5
     Зная собственные векторы можно записать выражение для матрицы Т за-
дающей переход в новую систему координат
                               ⎛          6          2 ⎞
                               ⎜                        ⎟
                             T=⎜          37          5 ⎟.
                               ⎜−          1          1 ⎟
                               ⎜                   −    ⎟
                               ⎝             37        5⎠
     Найдем обратную матрицу T −1 , используя выражение (2.16)
                                     ⎛ 37            37 ⎞
                                     ⎜                  ⎟
                            T −1    =⎜ 4             2 ⎟.
                                     ⎜   5           3 5⎟
                                     ⎜−            −    ⎟
                                     ⎝ 4              2 ⎠
     Не трудно убедиться, что
                                             ⎛1 0⎞
                             T × T −1 = I = ⎜⎜     ⎟⎟ .
                                             ⎝ 0 1  ⎠
     Новый вектор обобщенных координат q задается линейным преобразовани-
ем
                                       x = Tq .
     Подставляя его в уравнения объекта получим
                                    dq
                                T      = ATq + Bu .
                                    dt