Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

70
Продифференцируем n-1 раз второе уравнение (2.37) и подставим в полу-
ченные выражения для производных первое уравнение (2.37). В результате полу-
чим систему из n уравнений для вычисления
x
.
.
..............
;
;
xCAy
CAxy
Cxy
1n1n −−
=
=
=
&
(2.38)
Система уравнений (2.38) будет иметь единственное решение в том случае,
если ранг матрицы наблюдаемости V этой системы будет равен
n.
Матрица наблюдаемости имеет вид
[
]
T1nTT2TTTT
C)...(AC)(ACACV
−
= , (3.39)
а ее ранг должен быть равен порядку системы
(
)
nRankRank ==
− T1nTT2TTTT
C)...(AC)(ACACV)( . (2.40)
Это необходимое и достаточное условие наблюдаемости Калмана.
Рассмотрим простейший пример. Пусть система управления описывается
дифференциальными уравнениями вида:
dx
dt
abu
dx
dt
ax ax bu
ycx
1
11 1
2
21 1 22 2 2
1
=+
=+ +
=
;
;
.
Матрицы
А и С имеют вид:
()
.
0
;
0
;0;
0
22
2111
2221
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
c
a
aa
c
aa
a
TT
CA
CA
Матрица наблюдаемости
V запишется в следующем виде, согласно (2.39):
)(
TTT
CACV ×=
Подставляя сюда выражения для транспонированных матриц
А и С полу-
чим: 
                                               70

         Продифференцируем n-1 раз второе уравнение (2.37) и подставим в полу-
ченные выражения для производных первое уравнение (2.37). В результате полу-
чим систему из n уравнений для вычисления x .
                                                   y = Cx;
                                                 y& = CAx;
                                                                                       (2.38)
                                                 ..............
                                              y = CA n −1 x.
                                               n −1



       Система уравнений (2.38) будет иметь единственное решение в том случае,
если ранг матрицы наблюдаемости V этой системы будет равен n.
       Матрица наблюдаемости имеет вид
                                    [                                        ]
                              V = C T A T C T (A T ) 2 C T ...(A T ) n −1 C T ,        (3.39)
а ее ранг должен быть равен порядку системы
                Rank (V) = Rank (C T A T C T (A T ) 2 C T ...(A T ) n −1 C T ) = n .   (2.40)
       Это необходимое и достаточное условие наблюдаемости Калмана.
       Рассмотрим простейший пример. Пусть система управления описывается
дифференциальными уравнениями вида:
                                    dx1
                                         = a 11 + b1 u;
                                     dt
                                    dx 2
                                         = a 21 x1 + a 22 x 2 + b2 u;
                                     dt
                                    y = cx1 .
       Матрицы А и С имеют вид:
                                      ⎛a      0 ⎞
                                 A = ⎜⎜ 11        ⎟⎟; C = (c 0 );
                                        a
                                      ⎝ 21   a 22 ⎠

                                        ⎛a    a 21 ⎞           ⎛c⎞
                                 A T = ⎜⎜ 11        ⎟⎟; C T = ⎜⎜ ⎟⎟.
                                        ⎝ 0 a 22 ⎠             ⎝0⎠
       Матрица наблюдаемости V запишется в следующем виде, согласно (2.39):
                                         V = (C T A T × C T )
       Подставляя сюда выражения для транспонированных матриц А и С полу-
чим:

Страницы